Die vollkommenen oder perfekten Zahlen

Letztmalig dran rumgefummelt: 04.03.10 09:41:35

	Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler (d. h. aller Teiler außer sich selbst). Ist diese Summe der Teiler kleiner als die Zahl selbst, heißt die Zahl defizient. Ist die Teilersumme dagegen größer, so spricht man von einer abundanten Zahl.
	1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Literatur 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	Probleme & Problemlösungsverfahren Logo für die Perfect Numbers begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-) Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: LOG IN - Heft 5/99 (1999) Seite 71/72

1. Problembeschreibung

Kürzlich ist nun der Schmidt-Forschung eine sensationelle Entdeckung geglückt: Die Wissenschaftler Laßfahrius Frenzel und Rene Rathke haben im Nachlass des Dichters in Bargfeld (bei Celle) umfangreiche Notizen zur elementaren Zahlentheorie gefunden. Und zwar beschäftigte sich Schmidt dort mit der Beziehung gewisser natürlicher Zahlen zu ihrer Quersumme. (Warum und zu welchem Ende er dies tat, konnte von Frenzel und Rathke bisher nicht geklärt werden.) In moderne Terminologie übersetzt handelt es sich um Zahlen (wir nennen sie - ihrem Entdecker zu Ehren - Schmidt-Zahlen) mit folgender Eigenschaft: Die Quersumme der Zahl stimmt mit der Quersumme ihrer Primfaktoren überein.

2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen

Euklid bewies, dass 2n - 1(2n - 1) immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn 2n − 1 eine Primzahl ist, dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Zudem ist es unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn sie existiert, größer als 10500 ist und mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat.

Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind: 6 28 496 8.128 33.550.336 8.589.869.056 137.438.691.328 2.305.843.008.139.952.128 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

3. Lösungsalgorithmus

Grundsätzlich erledigen wir beim Ermitteln der Perfekten Zahlen genau das, wodurch sie selbst definiert sind. Testzahl hernehmen, Untersuchungszahl auf Null setzen, alle Teiler außer der Zahl selbst such und immer, wenn ein solcher gefunden wurde, aufaddieren. Abschließend wird diese Summe mit der Testzahl verglich und stimmen sie überein, haben wir eine perfekte Zahl gefunden. Nur extrem laufzeitintensiv ist diese Vorgehensweise.

4. Programmvorschläge

	Hier nun eine erste Lösungsvariante, welche nach genau dem Algorithmus arbeitet, wie er unter Drittens beschrieben wurde. Deshalb Vorsicht mit großen Zahlenräumen - ich such noch nach einer hinreichend schnellen Testmaschine, welche auch in der Lage ist, diese Dimension an Operationen in sinnvoller zeit abzufangen.
	Programm zur Bestimmung der perfekten Zahlen in kleinen Räumen ZIP-Archiv im Delphi 6.0-Format zum Programm ausfürhbares  Programm

5. Zusammenfassung

6. Weiterführende Informationen

	War 'ne tolle Sache (zumindest für mich als Lehrer), einmal ein Schuljahr lang mit Schülern über doch die Grenzen von Programmiersprachen tangierende Probleme zu diskutieren, diese auszuloten, Algorithmen zu finden und wieder wegzuwerfen. Dümmer geworden ist dabei wahrscheinlich keine der betroffenen Seiten, die Schüler werden's teilweise einige Monate später an Universitäten bemerken ;-) Alles war im Rahmen des Möglichen: es anstrengend (was es ja sein soll), aber machbar - unten kann man einige Ergebnisse einsehen. Alles, was präsentiert wird, ist Wissensstand  Juni 2008 ;-)
	die Primzahl-Zwillingssuche der Kaprekar Algorithmus das 153-Problem - Narziß-Zahlen das Autoquadratzahlenproblem die Schmidtzahlen Pythagoräische Tripel Ulam-Spirale die Polynomzahlen Pascal-Zahlen die Goldbach-Vermutung das Palindrom Spiegelsummen-Problem die befreundeten Zahlen
	die Zahlenteiler GGT KGV   die Primzahlsuche - zumindest die ersten Beschreibungen sind trivial ;-) die Pseudoprimzahlen Quersummenermittlung Primzahlfaktorisierung

7. Links zum Thema

	http://de.wikipedia.org/wiki/Vollkommene_Zahl

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem das 153-Problem
	Worst-Case-Denken Algorithmentheorie Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand Praktische Elementaralgorithmen Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien Klassische algorithmisch lösbare Probleme Zufall und Computer Graphentheorie Petri-Netze
	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

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© Frank Rost am 30. Mai 2008