| Die ABC-Vermutung |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 04.03.10 09:37:54 |
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Die abc-Vermutung ist eine 1985 von Joseph Oesterlé
und David Masser aufgestellte mathematische Vermutung. Dabei geht es um eine
Eigenschaft von Tripeln von zueinander teilerfremden natürlichen Zahlen, bei
denen die dritte die Summe der beiden anderen ist. Anschaulich gesprochen geht es darum, dass natürliche Zahlen mit zahlenmäßig vielen mehrfach auftretenden Primfaktoren – so genannte hochpotente oder auch „reiche Zahlen“ – vergleichsweise selten vorkommen. In Anlehnung an eine Definition von B. Mazur kann eine natürliche Zahl als multiplikativ hochpotent bezeichnet werden, wenn ihre Binärdarstellung wesentlich länger ist als die Binärdarstellung ihres größten quadratfreien Teilers, also dem Produkt aller enthaltenen Primfaktoren. Dann besagt die abc-Vermutung für zwei teilerfremde, multiplikativ hochpotente Zahlen n1 und n2, dass weder ihre Summe n1 + n2 noch ihre Differenz n1 − n2 multiplikativ hochpotent sein kann, eventuell mit Ausnahmen, wenn max(n1,n2) klein ist. Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt, sie gilt aber wegen ihrer Schwierigkeit und mehr noch wegen ihrer Bedeutung als prominenter Nachfolger der gelösten Fermatschen Vermutung (neuer „Heiliger Gral“). Dorian Goldfeld bezeichnete sie gar als wichtigstes ungelöstes Problem der diophantischen Analysis. Es ist bereits eine Vielzahl weitreichender zahlentheoretischer Aussagen bekannt, die aus der Gültigkeit der abc-Vermutung folgen würden. |
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1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Literatur 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen |
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Quellen: LOG IN - Heft 5/99 (1999) Seite 71/72 |
| 1. Problembeschreibung |
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Kürzlich ist nun der Schmidt-Forschung eine
sensationelle Entdeckung geglückt: Die Wissenschaftler Laßfahrius Frenzel
und Rene Rathke haben im Nachlass des Dichters in Bargfeld (bei Celle)
umfangreiche Notizen zur elementaren Zahlentheorie gefunden. Und zwar
beschäftigte sich Schmidt dort mit der Beziehung gewisser natürlicher Zahlen
zu ihrer Quersumme. (Warum und zu welchem Ende er dies tat, konnte von
Frenzel und Rathke bisher nicht geklärt werden.) In moderne Terminologie übersetzt handelt es sich um Zahlen (wir nennen sie - ihrem Entdecker zu Ehren - Schmidt-Zahlen) mit folgender Eigenschaft: Die Quersumme der Zahl stimmt mit der Quersumme ihrer Primfaktoren überein. |
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| 2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen |
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Euklid bewies, dass 2n - 1(2n
- 1) immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn
2n − 1 eine Primzahl ist, dies sind die so
genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler
beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt
werden können. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Zudem ist es unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn sie existiert, größer als 10500 ist und mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat. |
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Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind:
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| 3. Lösungsalgorithmus |
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Grundsätzlich erledigen wir beim Ermitteln der Perfekten Zahlen genau das, wodurch sie selbst definiert sind. Testzahl hernehmen, Untersuchungszahl auf Null setzen, alle Teiler außer der Zahl selbst such und immer, wenn ein solcher gefunden wurde, aufaddieren. Abschließend wird diese Summe mit der Testzahl verglich und stimmen sie überein, haben wir eine perfekte Zahl gefunden. Nur extrem laufzeitintensiv ist diese Vorgehensweise. |
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| 4. Programmvorschläge |
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Hier nun eine erste Lösungsvariante, welche nach genau dem Algorithmus arbeitet, wie er unter Drittens beschrieben wurde. Deshalb Vorsicht mit großen Zahlenräumen - ich such noch nach einer hinreichend schnellen Testmaschine, welche auch in der Lage ist, diese Dimension an Operationen in sinnvoller zeit abzufangen. | |||
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| 5. Zusammenfassung |
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| 6. Weiterführende Informationen |
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War 'ne tolle Sache
(zumindest für mich als Lehrer), einmal ein Schuljahr lang mit Schülern über
doch die Grenzen von Programmiersprachen tangierende Probleme zu
diskutieren, diese auszuloten, Algorithmen zu finden und wieder wegzuwerfen.
Dümmer geworden ist dabei wahrscheinlich keine der betroffenen Seiten, die
Schüler werden's teilweise einige Monate später an Universitäten bemerken
;-) Alles war im Rahmen des Möglichen: es anstrengend (was es ja sein soll), aber machbar - unten kann man einige Ergebnisse einsehen. Alles, was präsentiert wird, ist Wissensstand Juni 2008 ;-) |
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| 7. Links zum Thema |
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http://de.wikipedia.org/wiki/Vollkommene_Zahl |
| 8. Verwandte Themen |
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Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft. | ||||||||||||||||||||||||
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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha | © Frank Rost am 4. März 2010 um 9.39 Uhr |
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... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-) „Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“ Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist |
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Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-) |
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