Ganzzahlige Zahlenteiler

Letztmalig dran rumgefummelt: 19.12.08 10:19:23

	Bevor es an der Stelle überhaupt losgeht die Frage: Wozu das Ganze? Nu, wie wir später sehen werden, benötigen wir die ganzzahligen Teiler einer Zahl zur Lösung so einiger, dann etwas komplexerer Aufgaben. Häufig sind dabei Primzahlen mit von der Partie - und da kommt auch schon unsere erste Behauptung: mindestens ein Teiler einer Zahl ist eine Primzahl - gilt sogar für selbige ;-)
	1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Literatur 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	Probleme & Problemlösungsverfahren Logo für die Zahlenteiler begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-) Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: LOG IN - Heft 146/147 (2007) Seite 47 ff.

1. Problembeschreibung

	Gegeben sei eine endliche Mengen ganzer Zahlen im Bereich von - ∞ bis + ∞, wobei die Frage lautet, ob sich die Gasamtmenge in jeweils wertmäßig gleiche Teile zerlegen lässt, wobei die gegebenen Zahlen immer den jeweiligen Teilen zugeordnet werden müssen?
	Teilbarkeitsregeln natürlicher Zahlen
	Die folgenden Teilbarkeitsregeln beruhen auf folgenden Sätzen: 1. Ein Produkt ist durch eine Zahl teilbar, wenn einer der Faktoren durch die Zahl teilbar ist. 2. Eine Summe ist durch eine Zahl teilbar, wenn jeder Summand durch diese Zahl teilbar ist.
	Regel für die Zahl 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer durch 2 teilbar ist! Nachweis: Jede mehrstellige natürliche Zahl lässt sich in 10a + b (b - Einer) zerlegen. Beispiel: 3456= 10 . 345 + 6. 10a ist nach Satz 1 durch 2 teilbar. Ist nun b durch 2 teilbar, folgt die Regel nach Satz 2 unmittelbar. Entsprechend folgen die Regeln für die 4, 8, 16 usw.
	Regel für die Zahl 4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Stellen durch 4 teilbar sind!
	Regel für die Zahl 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Stellen durch 8 teilbar sind!
	Regel für die Zahlen 3, 6 und 9: Merke: Man bildet eine Quersumme einer Zahl, in dem man die Summe ihrer Ziffern bildet. Bsp.: Q (134 ) =1+3+4 = 8 Merke: Eine Zahl ist durch 3 teilbar , wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist durch 9 teilbar , wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist durch 6 teilbar , wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist
	Regeln für die Zahlen 5 und 10 Merke: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
	Regel für die 11 Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Querdiffernz durch 11 teilbar ist.
	Regeln für die 7 sind nicht gerade praktikabel Multipliziere die am weitesten links stehende Ziffer der zu untersuchenden Zahl mit 3, addiere die nächste Ziffer, multipliziere das Zwischenergebnis wieder mit 3, addiere die nächste Ziffer usw. bis auch die letzte Ziffer addiert ist. Die Ausgangszahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn das so erhaltene Resultat durch 7 teilbar ist. Teile die Zahl rechts beginnend in Dreierblöcke. Diese Blöcke werden als dreistellige Zahlen aufgefasst, und jetzt addiert man die von rechts gezählt 1., 3., 5. usw. Zahl (3er-Block), während man die an 2. 4. usw. Position stehende Zahl subtrahiert. Die Ausgangszahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die so ermittelte Summe es ebenfalls ist. so, nun reicht's.

2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen

	Auch für große Elemente müssen nur die Menge aller Vorgänger in die Analyse einbezogen werden.
	echte und unechte Teiler
	der Aufwand beträgt rund eins, da theoretisch 1 sowie die Zahl selbst nicht getestet werden müssen - sie sind immer Teiler

3. Lösungsalgorithmus

	Schlicht und ergreifend ganzzahlige Dvisionen (Modulo-Operationen) sind hier der Schlüssel zur Lösung. Für eine angenommene Zahl werden einfach der Reihe nach alle Vorgänger größer 1 durchprobiert und wenn der Rest der Division gleich Null ist, so habe ich einen chten Teiler gefunden.

4. Programmvorschläge

	Hannes Uhlig hat unser Vorschläge konsequent aufgegriffen und einschließlich der Problematik Oma und Katze ein Programm des Kaprekar-Algorithmus notiert, in welchem schon einige Kerngedanken eines sauberen - eben noch nicht objektorientierten Programmieirstils zusammenlaufen.
	Finden aller ganzzahligen Teiler einer Zahl Finden aller ganzzahligen Teiler einer Zahl   Finden aller ganzzahligen Teiler einer Zahl
	Finden aller Dividenten eines Bereiches, welche durch eine angegeben Zahl teilbar sind Finden aller Dividenten in einem gegebenen Bereich   Finden aller Dividenten in einem gegebenen Bereich
	Finden alles Dividenten eines Bereiches, welche durch eine angegeben Zahl teilbar sind Finden aller Dividenten in einem gegebenen Bereich   Finden aller Dividenten in einem gegebenen Bereich

5. Zusammenfassung

6. Weiterführende Literatur

7. Links zum Thema

	http://www.mathematische-basteleien.de/kaprekarzahl.htm

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	die Primzahl-Zwillingssuche der Kaprekar Algorithmus die befreundeten Zahlen das 153-Problem - Narziß-Zahlen das Autoquadratzahlenproblem die Schmidtzahlen   Pythagoräische Tripel Ulam-Spirale die Polynomzahlen Pascal-Zahlen die Goldbach-Vermutung das PalindromSpiegelsummen-Problem
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem das 153-Problem
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	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

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© Frank Rost am 24. Dezember 2007