Der Bresenham-Algorithmus - oder: die Quadratur des Kreises

Letztmalig dran rumgefummelt: 16.09.26 17:39:24

	... gestoßen auf das Rucksackproblem ohne es bereits so zu nennen, sind die Alliierten bei den Vorbereitungen zur Landung in der Normandie. Rucksackproblem ist die klassische Kompromisslösung schlechthin - denn alles geht nicht!
	1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Literatur 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	Probleme & Problemlösungsverfahren   Logo für den Bresenham-Algorithmus Wissen für Fortgeschrittene der Informatik Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: Lehr- und Übungsbuch Informatik Band 1 - 5 Seite ??? Technische und Theoretische Informatik  Seite ???

1. Problembeschreibung

	Wie alle unsere
	I Verteilung der möglichen Gepäckkombinationen
	Jeder Punkt repräsentiert eine Möglichkeit den Rucksack zu packen. Allerdings sind diejenigen mit Gewicht größer als 645 zu schwer für den Rucksack. Das sind gerade die Punkte, die rechts von der roten Linie sind. Punkte, die links oder auf der schwarzen Linie liegen, sind zulässig. Von all den zulässigen Punkten möchten wir denjenigen mit dem größten Profit auswählen. Dieser Punkt entspricht der Teilmenge mit den Objekten 1, 2, 3 und 5, die zusammen Gewicht 637 und Profit 647 haben. Diese ist die so genannte optimale Lösung. Man kann die optimale Lösung offensichtlich finden, indem man alle Teilmengen ausprobiert. Dieser Algorithmus hat allerdings einen großen Nachteil. Steigt die Anzahl der Objekte nur leicht an, so "explodiert" die Anzahl der Teilmengen. Erhält die Weltraumagentur in unserem Beispiel 60 Angebote für Experimente, so gibt es bereits 260 = 1.152.921.504.606.846.976   also mehr als eine Trillion) verschiedene Möglichkeiten, eine Auswahl zu treffen. Wenn man optimistisch annimmt, dass ein Computer eine Milliarde Teilmengen pro Sekunde testen kann, so benötigt er trotzdem noch über 36 Jahre, um alle Teilmengen durchzuprobieren. So lange wollen wir den Start der Rakete aber nicht verzögern. Pareto-optimale Punkte Wie kann man die optimale Lösung schneller finden? Die Grundidee für einen effizienteren Algorithmus basiert auf folgender Beobachtung: Eine Teilmenge von Objekten kann nicht optimal sein, wenn es eine andere Teilmenge gibt, die leichter (oder gleich schwer) ist und gleichzeitig einen größeren Profit hat. Eine solche Lösung wäre unabhängig von der Gewichtsschranke des Rucksacks immer besser. Schauen wir noch mal auf unser Beispiel:   Verteilung der möglichen Gepäckkombinationen

2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen

	Unter Annahme der Tatsache, dass wir nicht die Kaprekartiefe, sondern die Regelmäßigkeit der Wiederkehr der einzelnen Werte selbiger suchen, fällt die Aufgabe heute typischerweise in den Bereich der nicht entscheidbaren Probleme. Und diese Beschreibung selbst zu finden, dürfte dann schon in die Klasse der komplexen Probleme fallen.
	... das Schatztruhenproblem - dem Original nachempfunden Kopiervorlage Nummer 1 Kopiervorlage Nummer 2 Kopiervorlage Nummer 3  Kopiervorlage Nummer 4   Vorlage im Originalformat...   Vorlage im Originalformat...   Vorlage im Originalformat...   Vorlage im Originalformat... Kopiervorlage Nummer 5 Kopiervorlage Nummer 6 Die Schatztruhe zum Ausprobieren in CorelDraw Version 11.0 ...  Lösungsansatz  ...     Vorlage im Originalformat...   Vorlage im Originalformat... das Schatztruhenproblem zum sieben .... das Schatztruhenproblem original ...     das Schatztruhenproblem zum achen .... ... die Sache mit der Schatztruhe... die Sache mit der Schatztruhe

3. Lösungsalgorithmen

	Das Grundprinzip besteht darin, systematisch mit den kleinstmöglichen Werten in den kleinstmöglichen Boxen die Gegenstände abzulegen und anschließend systematisch kleinere Gesamtwerte durch größere volumengleich zu ersetzen.
	... das Schatztruhenproblem - dem Original nachempfunden Gegeben sei ... Lösungsansatz 1 Lösungsansatz 2  Lösungsansatz 3     das Schatztruhenproblem zum ersten ... das Schatztruhenproblem zum ersten ...   das Schatztruhenproblem zum zweiten ...   das Schatztruhenproblem zum dritten ...   das Schatztruhenproblem zum vieren .... Lösungsansatz 4   Lösungsansatz 5 Lösungsansatz 6  Lösungsansatz 7   das Schatztruhenproblem zum fünfen ....   das Schatztruhenproblem zum sechsen ....   das Schatztruhenproblem zum sieben ....   das Schatztruhenproblem zum achen .... Lösungsansatz 8   Lösungsansatz 9 Lösungsansatz  ...  Lösungsansatz  ...     das Schatztruhenproblem zum neunen ....   das Schatztruhenproblem zum szehnen ....   das Schatztruhenproblem zum sieben ....   das Schatztruhenproblem zum achen .... ... die Sache mit der Schatztruhe... die Sache mit der Schatztruhe
	... das Schatztruhenproblem   Lösungsansatz 1       das Schatztruhenproblem zum ersten ... das Schatztruhenproblem zum ersten ...   das Schatztruhenproblem zum zweiten ... das Schatztruhenproblem zum zweien ...     ... die Sache mit der Schatztruhe
	... technische Lösungsansätze Lösungsansatz 1 Lösungsansatz 2       das Rucksackmodell zum ersten ... das Schatztruhenproblem zum ersten ...   das Rucksackmodell zum ersten ... das Schatztruhenproblem zum ersten ...   das Rucksackmodell in EXCEL ... das Rucksackmodell in EXCEL ...   das Rucksackmodell mit zusätzlichen Gewichtsbetrachtungen ... das Rucksackmodell mit zusätzlichen Gewichtsbetrachtungen ... ... die Sache mit dem Rucksack Einpacken

4. Programmvorschläge

	Hannes Uhlig hat unser Vorschläge konsequent aufgegriffen und einschließlich der Problematik Oma und Katze ein Programm des Kaprekar-Algorithmus notiert, in welchem schon einige Kerngedanken eines sauberen - eben noch nicht objektorientierten Programmieirstils zusammenlaufen.

5. Zusammenfassung

6. Weiterführende Literatur

7. Links zum Thema

	http://www.mathematische-basteleien.de/kaprekarzahl.htm

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem
	Worst-Case-Denken Algorithmentheorie Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand Praktische Elementaralgorithmen Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien Klassische algorithmisch lösbare Probleme Zufall und Computer Graphentheorie Petri-Netze
	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

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© Frank Rost am 8. Juni 2026 um 19.11 Uhr