• Kühn; Handbuch TTL- und CMOS-Schaltkreise Seite 213 ff.
• Borgmeyer; Grundlagen der Digitaltechnik Seite 90 ff.

In der Digitaltechnik entsprechen die Symbole „logisch 1" und „logisch 0" den Spannungspegeln oder Potentialen „High" und „Low", abgekürzt H und L. H und L werden als Binärzeichen und log. 1 und log. 0 als Binär- oder Dualziffern bezeichnet.

1 → H und 0 → L heißt positive Logik, 1 ≡ L und 0 ≡ H heißt negative Logik. Um von dieser Zuordnung unabhängig zu sein, verzichtet man auf die Dualziffern 1 und 0 und verwendet bei digitalen Schaltkreisen nur die Binärzeichen H und L. Dabei ist H immer dem näher an 5 Volt liegenden Potential und L dem näher an 0 Volt liegenden Potential zugeordnet.

1. Der Ersatz von log. 1 und log. 0 durch H und L ist nicht korrekt, hat aber den Vorteil, dass mit H und L ein gewisser physikalischer Hintergrund erhalten bleibt. Streng genommen dürften Dualzahlen nur aus den Dualziffern 1 und 0 bestehen (und nicht aus H und L).
2. Obwohl die Bedeutung der Begriffe „binär" und „dual" ziemlich gleich ist, hat sich eingebürgert, „binär" immer im Zusammenhang mit dem einzelnen Binärzeichen und „dual" für die aus mehreren Binärzeichen bestehende Dualzahl (Codewort) sowie für die daraus gebildeten Zahlensysteme (Dualsystem im Gegensatz zum Dezimalsystem) zu verwenden.

Mehrere Binärzeichen bilden ein Codewort. Die Zustandstabelle im Bild echte BCD-Codes enthält 5 Codewörter zu je 4 bit. Der Begriff Codewort ist gleichbedeutend mit Dualzahl. Jede Stelle eines Codewortes bzw. einer Dualzahl stellt: ein Bit dar.

Allgemeines über Zählercodes

Jeder digitale Zähler arbeitet nach einem bestimmten Code. Dieser ergibt sich aus der Reihenfolge, in der die Zählerzustände durchlaufen werden. Die feste Zuordnung zwischen Zählerzustand und der bis dahin eingelaufenen Impulsanzahl wird Code genannt. Der Zählercode besteht somit aus einer Tabelle (z. B. Bild echte BCD-Codes), die, von Null beginnend, jeder Dezimalzahl eine Dualzahl zuordnet und umgekehrt. Dabei bedeutet Dezimalzahl = Impulsanzahl und Dualzahl = Zählerzustand (oder Codewort).

Beispiel:

Die Zahl 18 benötigt im Dezimalsystem 2 Stellen, als Codewort im Dualsystem dagegen 5 Stellen (5 bit). Durch den Aufbau des Zählers, d. h. die Art und Weise, wie Flipflopausgänge verknüpft und auf Flipflopeingänge zurückgeführt sind, werden Zählkapazität und Code festgelegt. Die Gesichtspunkte, nach denen man sich für einen bestimmten Zählercode entscheidet, können sehr verschieden sein.

• leichte Ausführung von Rechenoperationen (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren usw.),
• leichtes Erkennen von Fehlern,
• bestimmte Wertigkeit der einzelnen Stellen, - optimale Ausnutzung des Nachrichtenkanals, - Sicherheit gegen zu leichtes unbefugtes Decodieren.

Ein 4-bit-Codewort ist eine 4stellige Dualzahl und heißt Tetrade. Deshalb nennt man 4stellige Codes auch tetradische Codes. Sie werden meist zur Codierung von Dezimalziffern und -zahlen verwendet.

Codes, die nur zur Codierung der Dezimalziffern 0 .. 9 benutzt werden, heißen dekadische oder BCD-Codes (BCD binär codierte Dezimalziffer). Der 8-4-2-1-Code ist der

BCD-Codes (engl.: binary coded decimal) - auch tetradische Codes genannt - sind Zifferncodes, die jede Ziffer einer Dezimalzahl einzeln codieren. Um die zehn Dezimalziffern 0 ... 9 binär zu codieren, sind nach Gl. (4.2-1) 3,322 Stellen erforderlich. Da für die Anzahl der Stellen nur eine ganze Zahl in Frage kommt, werden vier Stellen zur binären Codierung der Dezimalziffern 0 ... 9 benötigt. Eine Einheit von vier Ziffernstellen bezeichnet man auch als Tetrade. Mit vier dualen Ziffernstellen lassen sich insgesamt sechzehn verschiedene Tetraden darstellen, von denen aber nur zehn zur Darstellung der Dezimalziffern 0 ... 9 benötigt werden. Die nicht benutzten Kombinationen der Tetraden werden auch Pseudotetraden genannt. Theoretisch ergibt sich eine Unmenge von Möglichkeiten, um mit Hilfe eines BCD-Codes die Dezimalziffern 0... 9 zu verschlüsseln, von denen jedoch äußerst wenige benutzt werden. Für Rechenoperationen kommen ausschließlich bewertbare BCD-Codes in Frage, so dass dadurch die Möglichkeiten eingeschränkt werden. Unter dieser Voraussetzung der Bewertbarkeit wird zur Darstellung der Dezimalziffern 0 ... 9 für die Wertigkeit der niedrigsten Stelle der Wert 1 und für die Summe der Wertigkeiten der vier Ziffernstellen mindestens der Wert 9 gefordert. Die Tabelle 4.2-4 zeigt einige gebräuchliche, bewertbare 4-Bit-BCD-Codes. Da alle BCD-Codes nur zehn der insgesamt sechzehn möglichen Kombinationen zur Darstellung der Dezimalziffeni 0 ... 9 benötigen, weisen sie entsprechend Gl. (4.1-1) eine Redundanz von R = ld (16/10) = 0,678 auf. Die gesamte Verschlüsselung einer Dezimalzahl eines BCD-Codes ergibt sich aus einer Aneinanderreihung der einzelnen Tetradenverschlüsselungen, die jeweils die Ziffer einer Dezimalstelle darstellen. Demnach lautet beispielsweise das Codewort für die Dezimalzahl 1894 im 8-4-2-1-BCD-Code: 0001100010010100. Die Tabelle 4.2-5 zeigt gebräuchliche, nicht bewertbare 4-Bit-BCD-Codes. Von diesen gehören der Glixon-Code, O' Brien-Code 1, O' Brien-Code 11 und der Tompkins-Code 1 zur Gruppe der einschrittigen BCD-Codes. Der BCD-Gray-Code ist kein einschrittiger Code wie der n-Bit-Gray-Code. Der Vergleich der benachbarten Codewörter 1101 und 0000 der Dezimalzahlen 9 und 0 zeigt, daß in diesem Fall die Hamming-Distanz D = 3 beträgt.
Beispiel 4.2-1
Gegeben sind die Verschlüsselungen der Dezimalzahlen 0 ... 9 eines BCD-Codes nach der Tabelle 4.2-6. Kann der gegebene BCD-Code als bewertbar bezeichnet werden? Wenn ja, geben Sie die Wertigkeiten WA, WB, WC, WD der Stellen A, B, C und D des Codes an.
Welche Mindest-Hamming-Distanz D.i„ weist der gegebene BCD-Code auf? Kann der gegebene BCD-Code als einschrittig bezeichnet werden?
Lösung:
Zur Entscheidung über die Bewertbarkeit des gegebenen BCD-Codes werden die nachfolgend berechneten Wertigkeiten der Stellen zunächst nur angenommen, bis sie bei allen Codewörtern ihre Bestätigung finden. Erst dann kann der BCD-Code als bewertbar bezeichnet werden. An Hand des Codewortes für die Dezimalzahl 3 wird angenommen, daß der Stellenwert WC = 3 beträgt. Die Dezimalzahl 2 berechnet sich als Summe der Stellenwerte WC und WA. Daraus ergibt sich der Stellenwert WA=- 1. An Hand des Codewortes für die Dezimalzahl 7 kann der Stellenwert WD = 7 angenommen werden. Die Dezimalzahl 5 ergibt sich als Summe der Stellenwerte WD und WB. Daraus berechnet sich der Stellenwert WB = - 2. Die Codewörter der Dezimalzahlen 0, 1, 4, 6, 8 und 9, die zur Bestimmung nicht benutzt wurden, müssen noch überprüft werden:
Dezimalzahl 0 = WC + WB + WA = 3 - 2 -l=0 Dezimalzahl 1 = WC + WB = 3 - 2 = 1 Dezimalzahl 4 = WD + WB + WA = 7 - 2 - 1 = 4 Dezimalzahl 6 = WD + WA = 7 - 1 = 6 Dezimalzahl 8 = WD + WC + WB = 7 + 3 - 2 = 8 Dezimalzahl 9 = WD + WC + WA = 7 + 3 - 1 = 9. Da sich für alle Codekombinationen die zunächst angenommenen Stellenwerte bestätigen, handelt es sich um einen bewertbaren BCD-Code mit den Stellenwerten: WD = 7, WC = 3, WB = - 2 und WA = - 1. Zur Bestimmung der Hamming-Distanz müssen jeweils aufeinanderfolgende Codewörter verglichen werden. Die Hamming-Distanz zwischen den Codewörtern der Dezimalzahlen 0-1, 2-3, 4-5 und 6-7 beträgt jeweils D = 1. Die Hamming-Distanz zwischen den Codewörtern der Dezimalzahlen 1-2, 5-6, 7-8, 8-9 und 9-0 beträgt D = 2. Zwischen den Codewörtern der Dezimalzahlen 3-4 ergibt sich sogar eine Hamming-Distanz D = 4. Die Mindest-Hamming-Distanz des gegebenen BCD-Codes beträgt demnach D„,in= 1. Da die Hamming-Distanz zwischen den benachbarten Codewörtern der Dezimalzahlen 1-2, 3-4, 7-8, 8-9 und 9-0 D:# 1 beträgt, ist der gegebene BCD-Code nicht einschrittig.

Codes mit einer Redundanz ermöglichen die Prüfbarkeit bzw. sogar die Korrigierbarkeit der verwendeten Codewörter. Sie eignen sich daher besonders zur Datenübertragung, bei der ein oder mehrere Bitfehler entstehen können, um die empfangenen Codewörter zumindest auf Fehler überprüfen bzw. korrigieren zu können. Für die Bestimmung, ob ein Code prüfbar ist, wird ein 1-Bit-Fehler, d. h. die Verfälschung einer Ziffer 0 eines Codewortes in die Ziffer 1 bzw. einer Ziffer 1 eines Codewortes in die Ziffer 0 während der Übertragung, herangezogen. Ein Code ist demnach prüfbar, wenn ein 1-Bit-Fehler, der bei der Übertragung aufgetreten ist, erkannt werden kann. Die Prüfbarkeit setzt demnach voraus, dass sich die Codewörter eines prüfbaren Codes zumindest in zwei Ziffernstellen unterscheiden. Die Mindest-Hamming-Distanz aller Codewörter untereinander muss demnach mindestens Dmi„= 2 betragen. Unterstellt man die Möglichkeit mehrerer auftretender Fehler während der Übertragung eines Codewortes, so berechnet sich allgemein die Anzahl der erkennbaren Fehler F eines prüfbaren Codes in Abhängigkeit von der Mindest-Hamming-Distanz Dmin zu:
F=Dmin- 1. (4.2-2) Besitzt demnach ein Code eine Mindest-Hamming-Distanz Dmin= 1, so handelt es sich um einen ungesicherten Code, der nicht prüfbar ist. Ein Codewort eines ungesicherten Codes wird bereits durch einen bei der Übertragung auftretenden 1-Bit-Fehler in ein anderes Codewort verfälscht, so dass eine Überprüfung auf einen Fehler unmöglich ist. Ein Code mit einer Mindest-Hamming-Distanz Dmi„ = 2 ist auf einen 1-Bit-Fehler prüfbar, da ein Codewort durch einen bei der Übertragung auftretenden 1-Bit-Fehler in ein Datenwort verfälscht wird, welches als Codewort nicht zugelassen ist. Dadurch kann der Übertragungsfehler zwar erkannt, aber nicht korrigiert werden. Da bei einer Mindest-HammingDistanz D.i. = 2 das fehlerhafte Datenwort aus nicht nur einem Codewort, sondern aus mehreren Codewörtern entstanden sein kann, ist eine Korrektur nicht möglich. Besitzt ein Code dagegen eine Mindest-Hamming-Distanz Dn,in= 3, so kann ein 2-Bit-Fehler, der bei der Übertragung in einem Codewort auftritt, erkannt und ein 1-Bit-Fehler sogar korrigiert werden, wie die Gl. (4.2-2) zeigt. Je größer allgemein die Mindest-Hamming-Distanz ist, um so mehr Übertragungsfehler innerhalb eines Codewortes können erkannt bzw. sogar korrigiert werden.

Beispiel

Zur Sicherung einer Datenübertragung soll ein prüfbarer 4-Bit-Code verwendet werden. Es kann davon ausgegangen werden, dass auf der Übertragungsstrecke nur ein 1-Bit-Fehler innerhalb eines Codewortes auftreten kann. Ein Codewort des 4-Bit-Codes ist bekannt; es lautet: 0000. Geben Sie alle Codewörter des 4-Bit-Codes an. Beim Empfänger wird das fehlerhafte Datenwort 1110 empfangen. Aus welchen Codewörtern könnte es durch einen 1-Bit-Fehler bei der Übertragung entstanden sein? Kann das fehlerhafte Datenwort korrigiert werden?

Lösung:

Damit ein Code bei einem 1-Bit-Fehler prüfbar ist, muss seine Mindest-Hamming-Distanz Dmin ≥ 2 sein. Da das Codewort 0000 bekannt ist, sind alle Datenwörter, die untereinander eine Hamming-Distanz D≥ 2 aufweisen, als Codewörter zugelassen: 0000, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100, 1111. Zwischen diesen Codewörtern ergibt sich damit eine Hamming-Distanz D = 2 bzw. zwischen den Codewörtern 0000 und 1111 sogar D = 4. Das durch einen 1-Bit-Fehler verfälschte Datenwort 1110 ist entweder aus den zugelassenen Codewörtern 0110, 1010, 1100 durch eine Verfälschung der Ziffer 0 in die Ziffer 1 oder aus dem zugelassenen Codewort 1111 durch eine Verfälschung der Ziffer 1 in die Ziffer 0 entstanden. Das fehlerhafte Datenwort 1110 kann auf Grund der Mindest-Hamming Distanz Dn, in = 2 nicht korrigiert werden. Zur Korrektur ist bei einem 1-Bit-Fehler eine Mindest-HanuningDistanz Dn,in= 3 erforderlich.

Grafische Darstellung des Binärcodes

• ASCII-Code

• ANSI-Code

• UNICODE

Hier werden alle Signale, welche als Bitmuster für die jeweilige Dezimalzahl aktiviert werden soll, ODER-verknüpft. Bei 0 darf keines, bei 15 müssen alle Bits aktiviert werden.

• das Bit 2⁰ (also 1) soll aktiviert werden bei 1, ODER bei 3, ODER bei 5, ODER bei 7, ODER bei 9, ODER bei 11, ODER bei 13, ODER bei 15

• das Bit 2¹ (also 2) soll aktiviert werden bei 2, ODER bei 4, ODER bei 6, ODER bei 7, ODER bei 10, ODER bei 12, ODER bei 14, ODER bei 15

• das Bit 2² (also 4) soll aktiviert werden bei 4, ODER bei 5, ODER bei 6, ODER bei 7, ODER bei 12, ODER bei 13, ODER bei 14, ODER bei 15

• das Bit 2³ (also 8) soll aktiviert werden bei 8, ODER bei 9, ODER bei 10, ODER bei 11, ODER bei 12, ODER bei 13, ODER bei 14, ODER bei 15

74 - ; 74 LS; 47 HCT (CMOS)