Die Bernoulli-Zahlen

Letztmalig dran rumgefummelt: 14.04.10 07:31:12

	Der griechische Buchstabe Pi Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von π.Die Kreiszahl π (Pi) ist eine mathematische Konstante. Ihr Wert inklusive der ersten fünf Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung lässt sich wie folgt darstellen:
	1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Informationen 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	Jacob Bernoulli mathematischen Ansätze der Informatik Probleme & Problemlösungsverfahren Logo für die Bernoulli-Zahlen begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-) Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: LOG IN - Heft 4/1995 Seite 78

1. Problembeschreibung

	Den Nutzen des Computers erblicken wir u. a. im schnellen und fehlerfreien Ausführen vieler Rechenoperationen und in der Verwaltung großer Datenbestände. Hierin ist er dem Menschen weit überlegen. Wenn wir jedoch blind auf diese „Rechenmacht" des Computers vertrauen, werden wir möglicherweise (bei gewissen Problemen) nicht allzu weit kommen. Das folgende Beispiel mag zeigen, wie zwischen Mensch und Computer eine Art Arbeitsteilung möglich ist, wenn jeder dort eingesetzt wird, wo seine Stärken liegen. Problem Gesucht sind alle natürlichen Zahlen mit folgender Eigenschaft: Jede der Ziffern von 1 bis 9 kommt genau einmal vor, und die aus den ersten n Ziffern gebildete Zahl ist durch n teilbar (n = 1, 2,..., 9). Beispiel: Sei a = 724891356. Die erste Bedingung ist offenbar erfüllt, wie steht es mit der zweiten? Es ist 7 durch 1 teilbar, 72 ist durch 2 teilbar, aber leider ist 724 nicht durch 3 teilbar. Die Zahl a tut es also leider nicht.
	Aufgabe: Obiges Problem soll gelöst werden, und zwar durch ausschließlichen Computereinsatz (Programm), indem das Problem durch Nachdenken reduziert wird. und der Computer lediglich die Restarbeit erledigt, ausschließlich durch Nachdenken Erarbeiten Sie das Programm und schildern Sie Ihre Gedankengänge. Worin unterscheiden sich Mensch und Maschine beim Problemlösen?
	Primzahlen auf der Ulam-Spirale

2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen

3. Lösungsalgorithmus

4. Programmvorschläge

	Entstanden im Kursunterricht der Jahrgangsstufe 12 des Schuljahres 2007/08 ist dieser Vorschlage, welcher in sich schon recht effizient und somit auch hinreichend schnell arbeitet. Bedingt durch die progressiv ansteigende Zahl komplexer Berechnungen sowie Vergleichsoperationen kann die Rechenzeit sehr groß werden.
	Finden der Polynomzahlen mit Delphi Programm zur Ermittlung der Polynomzahlen Download als ZIP-Archiv im Delph 6.0-Format Download als startbare .EXE-Datei

5. Zusammenfassung

6. Weiterführende Informationen

	War 'ne tolle Sache (zumindest für mich als Lehrer), einmal ein Schuljahr lang mit Schülern über doch die Grenzen von Programmiersprachen tangierende Probleme zu diskutieren, diese auszuloten, Algorithmen zu finden und wieder wegzuwerfen. Dümmer geworden ist dabei wahrscheinlich keine der betroffenen Seiten, die Schüler werden's teilweise einige Monate später an Universitäten bemerken ;-) Alles war im Rahmen des Möglichen: es anstrengend (was es ja sein soll), aber machbar - unten kann man einige Ergebnisse einsehen. Alles, was präsentiert wird, ist Wissensstand  Juni 2008 ;-)
	die Primzahl-Zwillingssuche der Kaprekar Algorithmus das 153-Problem - Narziß-Zahlen das Autoquadratzahlenproblem die Schmidtzahlen Pythagoräische Tripel Ulam-Spirale die befreundeten Zahlen Pascal-Zahlen die Goldbach-Vermutung das Palindrom Spiegelsummen-Problem die Perfect Numbers
	die Zahlenteiler GGT KGV   die Primzahlsuche - zumindest die ersten Beschreibungen sind trivial ;-) die Pseudoprimzahlen Quersummenermittlung Primzahlfaktorisierung

7. Links zum Thema

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem das 153-Problem
	Worst-Case-Denken Algorithmentheorie Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand Praktische Elementaralgorithmen Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien Klassische algorithmisch lösbare Probleme Zufall und Computer Graphentheorie Petri-Netze
	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha

© Frank Rost am 14. April 2010 um 6.53 Uhr