Eratosthenes von Kyrene (griechisch Έρατοσθένης Κυρηνα ος; * zwischen 276 und 273 v. Chr. in Kyrene; † um 194 v. Chr. in Alexandria)

Letztmalig dran rumgefummelt: 17.01.17 17:14:58

	Die effektive Suche nach dem großen Primzahlen und dabei die Entdeckung eines Verfahrens, welches auch für die heutige Zeit, also das Jahr 2008 noch hinreichend effizient ist, haben ihn "unsterblich" gemacht. Aber wie alle großen Griechen, befasste er sich nicht nur mit einer Sache ...
	1. Eratosthenes von Kyene 2. Berechnung des Erdumfangs 3. Das Sieb des Eratosthenes 4. ... weitere Ideen 5. Programmiervorschläge 6. Weiterführende Literatur 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	Praktische Elementaralgorithmen Eratosthenes von Kyene begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-) Wissen für Fortgeschrittene der Informatik Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: Praktische Informatik mit Delphi Band I und II TURO-PASCAL 5.0 für Naturwissenschaftler und Ingeniuere Informatik Oberstufe Band 1 - Datenstrukturen und Softwareentwicklung TURBO-PASCAL Schulung - Für Selbststudium und Grupppenunterricht
	die Primzahlsuche - zumindest die ersten Beschreibungen sind trivial ;-)

1. Eratosthenes von Kyene

	Eratosthenes von Kyrene (griechisch Ερατοσθένης ο Κυρηναίος, * ca. 284 v. Chr. in Kyrene; † 202 v. Chr. in Alexandria) war ein griechischer Mathematiker, Geograph, Geschichtsschreiber, Philologe und Dichter sowie Direktor der Bibliothek von Alexandria. Eratosthenes prägte den Begriff der Geographie. Lehrer des sogenannten „Sohn des Wolfes“ waren u. a. Lysanias von Kyrene und Ariston von Chios. Ariston war ein Philosoph und studierte bei Zenon von Kition, dem Begründer der stoischen Philosophie, die ihre Wurzeln im hellenistischen Zeitalter und ihren stärksten Ausdruck Jahrhunderte später bei Seneca und Marcus Aurelius fand. Ein anderer Lehrer von Eratosthenes war Kallimachos, ein Poet, der ebenfalls aus Kyrene stammte. Eratosthenes studierte in Athen, dem kulturellen Zentrum der hellenistischen Welt. Zu der Zeit, als Eratosthenes nach Alexandria in Ägypten kam, war die Bibliothek von Alexandria von Ptolemaios II. fertiggestellt worden. Dieser hatte Kallimachos zum zweiten Bibliothekar ernannt, und als Ptolemaios III. Euergetes seinen Vater als König von Ägypten beerbte, überzeugte er Eratosthenes, nach Alexandria zu kommen, um seinen Sohn Philopator zu unterrichten. Kallimachos starb 236 v. Chr., und Eratosthenes wurde der dritte Bibliothekar der Bücherei, welche bis dahin schon Hunderttausende von Schriftrollen enthielt, eine Zusammenfassung des Wissens der bekannten Welt.
	Eratosthenes stammte aus der Stadt Kyrene im heutigen Libyen. Seine Geburt lässt sich auf den Zeitraum zwischen 276 und 273 v. Chr. eingrenzen. Zum Studium ging er nach Athen. Seine Lehrer waren der Grammatiker Lysanias von Kyrene, der stoische Philosoph Ariston von Chios und der Platoniker Arkesilaos. Ariston, der sich nur für Ethik interessierte und naturwissenschaftliche Studien für unwichtig hielt, scheint Eratosthenes nicht nachhaltig beeinflusst zu haben. Weit stärker waren offenbar die Eindrücke, die Eratosthenes von den Denkern der Platonischen Akademie empfing, denn seine späteren Äußerungen zu philosophischen Themen erweisen ihn als Platoniker. Ein reguläres Mitglied der Akademie scheint er aber nicht gewesen zu sein. Außerdem wird in der antiken Überlieferung auch der berühmte Gelehrte Kallimachos von Kyrene als Lehrer des Eratosthenes genannt, doch ist diese Angabe kaum glaubwürdig. Weitere Philosophen, die Eratosthenes beeindruckten, waren Arkesilaos' Schüler Apelles von Chios und der Kyniker Bion von Borysthenes. Eine unklare und umstrittene, chronologisch problematische Bemerkung Strabons über eine Beziehung des Eratosthenes zu dem Stoiker Zenon von Kition muss nicht im Sinne eines Lehrer-Schüler-Verhältnisses gedeutet werden. Aus Athen holte der ägyptische König Ptolemaios III. Euergetes bald nach seinem Regierungsantritt, wahrscheinlich um 245, den erst etwa dreißigjährigen Eratosthenes in seine Residenzstadt Alexandria. Offenbar genoss der junge Gelehrte schon damals einen ausgezeichneten Ruf, wobei seine dichterischen und mathematisch-philosophischen Leistungen im Vordergrund standen; seine geographischen, philologischen und historischen Arbeiten entstanden erst später. Der König ernannte ihn zum Leiter der Bibliothek von Alexandria, nachdem sein Vorgänger in diesem Amt, Apollonios von Rhodos, wegen Meinungsverschiedenheiten mit Ptolemaios III. zurückgetreten war. Ab etwa der Mitte der dreißiger Jahre unterrichtete Eratosthenes den Sohn und künftigen Nachfolger des Königs, Ptolemaios IV. Philopator, der im Jahr 222 den Thron bestieg. Über das spätere Leben des Eratosthenes fehlt es an zuverlässigen Nachrichten. Die Leitung der Bibliothek behielt er bis zu seinem Lebensende. Über seinen Tod liegen unterschiedliche Angaben vor. Die Suda, eine byzantinische Enzyklopädie, berichtet, er habe wegen Erblindung seinem Leben selbst ein Ende gesetzt, indem er die Nahrungsaufnahme verweigerte. Ein solcher Tod galt damals als eines Philosophen würdig. Der Dichter Dionysios von Kyzikos hingegen, der kurz nach dem Tod des Eratosthenes ein Gedicht auf den Verstorbenen – wohl als Grabinschrift (Epitaph) – verfasste, schrieb: „Ganz mildes Greisenalter löschte dich aus, nicht schwächende Krankheit“. Dionysios ging also von Altersschwäche des rund Achtzigjährigen als Todesursache aus; vielleicht wollte er dem Gerücht entgegentreten, es habe sich um einen Freitod gehandelt. Eratosthenes wurde in Alexandria bestattet. Trotz seines Ruhmes und seiner außerordentlichen Gelehrsamkeit wurde Eratosthenes nicht zum Gründer einer eigenen Schulrichtung. Von den vier Personen, die in der Suda als seine Schüler genannt werden, sind drei nicht sicher identifizierbar, waren also kaum bedeutende Wissenschaftler. Der vierte ist der prominente Grammatiker Aristophanes von Byzanz, der als Nachfolger des Eratosthenes die Leitung der Bibliothek von Alexandria übernahm.
	Für kleine Mengen M ist das Problem empirisch durch ausprobieren möglich - Beispiel: M = {-11, -9, -5, -3, 2, 4, 13,21, 23} Antwort: JA - nämlich für die Teilmenge m = {-11, -9, -5, 2, 23}

2. Berechnung des Erdumfanges

	Für kleine Mengen M ist das Problem empirisch durch ausprobieren möglich! Für große Mengen existieren allerdings keine anderen Verfahren, als genau diese: ausprobieren jeden Elements mit jedem - das sind dann aber schon bei 10 Elementen 210 Möglichkeiten.

3. Das Sieb des Eratosthenes

	Am Ende einfach genial dieses Verfahren - und bislang auch das einzige, welches wirklich einigermaßen effizient in der Lage ist, Primzahlen eindeutig als solche zu identifizieren. Die Vorgehensweise ist immer noch sehr intelligent, obwohl vermutlich bereits 3000 Jahre alt.
	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Dieses funktioniert nach folgendem Prinzip: Schreibt man eine Liste aller natürlichen Zahlen auf, die man überprüfen will, dann sieht das zunächst z.B. so aus (siehe links): nun streicht man als erstes die 1 weg, da es sich bei 1 um keine Primzahl handelt es folgt die 2 - 2 wurde bis jetzt nicht weggestrichen und ist deshalb Primzahl. Wir markieren 2 als Primzahl wir streichen nun alle durch 2 teilbaren Zahlen, weil diese nicht Primzahlen sein können. (Sie hätten jeweils die Teiler 1,2 und sich selbst) die 3 ist nun die nächste ungestrichene Zahl! Wir markieren 3 als Primzahl wir streichen nun alle durch 3 teilbaren Zahlen, weil diese ebenfalls keine Primzahlen mehr sein können nun wiederholen wir Schritt d) und e) bis alle Zahlen entweder als Primzahlen markiert, bzw. als Nichtprimzahlen durchgestrichen sind Achtung: diese Schritte müssen nur bis zur Zahl durchgeführt werden, die größer oder gleich der Wurzel des zu überprüfenden Bereichs ist. z.B. 10 bei 100, 32 bei 1000, da 10 * 10 = 100 bzw. 32 * 32 = 1024 > 1000 Man erhält in dem oberen Beispiel nun eine Liste von Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
	... und dies ist die Idee: 2 erkannt - 3 als nächste sicher ermittelt ... 3 erkannt - 5 als nächste sicher ermittelt ... 5 erkannt - 7 als nächste sicher ermittelt ... 7 erkannt - 11 als nächste sicher ermittelt ... Sieb des Eratosthenes auf 2 als letzte bislang erkannte Primzahl Sieb des Eratosthenes auf 3 als letzte bislang erkannte Primzahl Sieb des Eratosthenes auf 5 als letzte bislang erkannte Primzahl Sieb des Eratosthenes auf 7 als letzte bislang erkannte Primzahl 11 erkannt - 13 als nächste sicher ermittelt ... 13 erkannt - 17 als nächste sicher ermittelt ...     Sieb des Eratosthenes auf 11 als letzte bislang erkannte Primzahl Sieb des Eratosthenes auf 13 als letzte bislang erkannte Primzahl
	alle Vielfachen einer sicher erkannten Primzahl sind mit Sicherheit keine Primzahl (sie lassen sich ja mindestens neben 1 sowie sich selbst auch durch die jeweilige Primzahl dividieren) nach der zwei scheiden somit schon einmal alle geraden Zahlen aus - sie sind ja mit Sicherheit mindestens durch 2 teilbar - verbleiben ergo als potentielle Kandidaten nur noch die ungeraden Zahlen sehr gut sichtbar ist das ganze, wenn wir alle Vielfachen einer sicher erkannten Primzahl "maskieren" - diese sind für alle weiteren Betrachtungen mit Sicherheit keine Primzahlen mehr!

4. ... weitere Ideen

	Die Grundidee beruht darauf, dass die zu untersuchende Zahl (außer der 2 werden nur ungerade Zahlen in die Betrachtung einbezogen!) nicht  durch alle Ihre Vorgänger, auch nicht durch die Anzahl bis zur Hälfte, sondern lediglich durch alle bisher als Primzahlen erkannten Vorgänger dividiert werden muss. Das verringert den Rechenaufwand vor allem bei großen Primzahlen enorm. Der Nachteil des Verfahrens liegt natürlich auf der Hand: die Vorgänger-Primzahlen müssen bekannt sein!

5. Programmiervorschläge

	Hier versuche ich einmal in Projektform alles an Datentypen in die Waagschale zu werfen, was Delphi so bereit hält. ARRAY's zur aktuellen Datenhaltung, RECORD's für die Datensatzbeschreibung sowie vor allem LIST's zur Datenverarbeitung und FILE's zur externen Datenhaltung. Das sind dann genau die Datentypen, vor denen der kleine Informatiker immer kapitulieren muss.

6. Weiterführende Literatur

7. Links zum Thema

	Primzahlen waren in der Antike sowie in der Zeit des Mittelalters lediglich "magisch" - nicht unbedingt "nützlich". Heutzutage haben wir erkannt, dass die Primzahlen durchaus das Zeug zu mehr haben - ja wir vertrauen ihnen eigentlich das gesamte Potential prktischer Sicherheit für jeden einzelnen an.
	Arndt Brünner's Primzahlseite

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem das 153-Problem Dijkstra-Algorithmus
	Worst-Case-Denken Algorithmentheorie Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand Praktische Elementaralgorithmen Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien Klassische algorithmisch lösbare Probleme Zufall und Computer Graphentheorie Petri-Netze
	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

zur Hauptseite

© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha

© Frank Rost am 9. Januar 2008