| 5.0. Logik |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 05.11.25 16:53:49 |
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Logik ist ein Teilgebiet der Philosophie, Mathematik und Informatik, das sich mit der Untersuchung von Argumenten und Schlussfolgerungen beschäftigt. Sie befasst sich mit den Regeln und Methoden, um die Gültigkeit von Aussagen zu beurteilen. Der Begriff stammt aus dem Griechischen „logikè“ und bedeutet die Kunst oder Wissenschaft der Argumentation, die von Aristoteles begründet wurde. Laut Duden ist Logik auch die Fähigkeit des Denkens, die in gegenwärtigen Debatten von Bedeutung ist. | |||||||
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1.
Logik in der Antike |
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Quellen:
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| 1. Die Logik in der Antike |
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Die antike Logik, insbesondere die von Aristoteles, hat eine tiefgreifende Auswirkung auf die Entwicklung der westlichen Logik und Mathematik. Aristoteles' Konzepte wie der Syllogismus und die Begriffseinteilung haben die Grundlage für die moderne Logik gelegt. Die Sophisten und Platon haben ebenfalls zur Entwicklung der Logik beigetragen, indem sie Rhetorik und Argumentationskunst unterrichten. Die Logik hat sich im Laufe der Zeit weiterentwickelt, insbesondere im 19. und 20. Jahrhundert, als sie von Mathematikern wie George Boole und Gottlob Frege weiterentwickelt wurde. Die moderne Logik ist heute eine grundlegende Strukturwissenschaft, die auch in der theoretischen Informatik und der Sprachwissenschaft Anwendung findet. | ||||||||||
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| 2. de Morgan'sche Regeln |
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Hauptziel ist es, überflüssige (... also sich aufhebende) Bauteile einzusparen und aus der Logik zu entfernen. Auch eine eventuelle Anpassungder Anzahl von Ein- und Ausgängen kann ein Motiv für die Anwendung dieser gesetze und Regeln sein. Praktisch werden von bestimmten Schalelementen nur wenige Muster hergestellt, welche sinnvoll miteinander kombniert erst die Zielschaltung ergeben. | ||||||||||||
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| 3. Bool'sches Aussagenkalkül |
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Über 2.000 Jahre haben
Mathematiker sich mit der aristotelischen Logik herumgeschlagen und
versucht, sie mit mathematischen Zeichen und Operatoren zu zügeln. Bis zum
19. Jahrhundert gab es nur eine Person, die auf dem richtigen Weg war:
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1648– 1716) befasste sich schon früh mit
Logik, bevor er sich anderen Interessen zuwandte. So entdeckte er unabhängig
und zeitgleich mit Isaac Newton die Infinitesimalrechnung. Doch dann betrat
George Boole die Bühne. George Boole wurde 1815 in England geboren. Seine Chancen, etwas aus sich zu machen, standen eher schlecht. Er war der Sohn eines Schusters und einer ehemaligen Dienstmagd. Die strenge, britische Klassengesellschaft sah einfach nicht vor, dass er einen anderen Beruf als seine Vorfahren ergriff. Doch sein wissbegieriger Verstand und sein hilfreicher Vater (der sich sehr für Wissenschaft, Mathematik und Literatur interessierte), führten dazu, dass der junge George sich eine Bildung aneignete, die normalerweise das Privileg der Oberklasse war. Er studierte unter anderem Latein, Griechisch und Mathematik. Als Resultat seiner frühen Veröffentlichung auf dem Gebiet der Mathematik wurde Boole 1849 zum ersten Professor für Mathematik am Queen’s College in Cork (Irland) berufen. Mehrere Mathematiker hatten Mitte der 1800er-Jahre bereits an einer mathematischen Definition der Logik gearbeitet, allen voran Augustus De Morgan. Doch es war Boole, dem der echte konzeptionelle Durchbruch gelang – zunächst in seinem kurzen Buch "The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning" (1847) und später in dem sehr viel längeren und ambitionierteren Werk "An Investigation of the Laws of Thought on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities" (1854), oft verkürzt als "The Laws of Thought" genannt. Boole starb 1864 im Alter von 49 Jahren, nachdem er im strömenden Regen zur Universität geeilt und sich dabei eine Lungenentzündung geholt hatte. Der Titel des 1854 erschienenen Buches verrät die Ambition dahinter: Boole war überzeugt, dass das Denken im menschlichen Gehirn auf Logik beruht. Wenn es gelänge, die Logik im Rahmen der Mathematik darzustellen, so dachte er, läge eine mathematische Beschreibung der Funktionsweise des Gehirns vor. Seine Mathematik lässt sich auch ohne diese neuropsychologische Annahme studieren. Boole erfand eine ganz neue Algebra, die schließlich unter dem Namen boolesche Algebra bekannt wurde, um sie von der herkömmlichen Algebra zu unterscheiden. In der herkömmlichen Algebra werden Zahlen oft durch Buchstaben ersetzt. Diese Buchstaben werden als Operanden bezeichnet und auf verschiedene Weise über Operatoren wie + und × miteinander kombiniert. Ein Beispiel: A = 3 × (B + 5) Bei der herkömmlichen Algebra werden bestimmte Regeln befolgt. Diese Regeln sind uns so sehr in Fleisch und Blut übergegangen, dass wir sie gar nicht mehr als Regeln wahrnehmen und manchmal sogar ihre Namen vergessen. Dabei bilden sie das Fundament der gesamten Mathematik. Die erste dieser Regeln, das Kommutativgesetz, besagt, dass Addition und Multiplikation kommutativ sind. Das bedeutet, dass die Zeichen auf beiden Seiten der Operatoren vertauscht (lat. commutare) werden können: Subtraktion und Division sind hingegen nicht kommutativ. Addition und Multiplikation sind außerdem assoziativ, sodass gilt: A + (B + C) = (A + B) + C A × (B × C) = (A × B) × C Schließlich ist die Multiplikation distributiv gegenüber der Addition: A × (B + C) = (A × B) + (A × C) Ein weiteres Merkmal der herkömmlichen Algebra ist, dass sie stets mit Zahlen arbeitet: Gramm Tofu, Anzahl Enten, von einem Zug zurückgelegte Strecke oder Sekunden an einem Tag. Booles Geniestreich bestand darin, die Algebra abstrakter zu gestalten und sie vom Konzept der Zahlen zu lösen. In der booleschen Algebra beziehen die Operanden sich nicht auf Zahlen, sondern auf Klassen. Eine Klasse ist einfach eine Gruppe von Dingen, ähnelt also dem später gelehrten Konzept einer Menge. |
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| 4. Lösen & Zusammenfassen Bool'scher Gleichungen |
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Die Boolesche Algebra ist eine mathematische Struktur, die dazu verwendet wird, logische Prozesse zu beschreiben und zu analysieren. Sie basiert auf der Arbeit des englischen Mathematikers George Boole, der 1854 sein Buch „An Investigation of the Laws of Thought“ veröffentlichte. Die Boolesche Algebra basiert auf zwei Grundannahmen: Erstens, dass alle logischen Aussagen als Wahrheitswerte betrachtet werden können, die entweder wahr oder falsch sind, und zweitens, dass alle logischen Aussagen als logische Operatoren kombiniert werden können. Diese Operatoren sind AND, OR, NOT und XOR. Mit diesen einfachen Grundlagen können komplexere logische Aussagen konstruiert werden. Zum Beispiel können mehrere Aussagen mit dem logischen Operator AND verknüpft werden, um eine logische Aussage zu erhalten, die nur dann wahr ist, wenn alle verknüpften Aussagen wahr sind. Die Boolesche Algebra ist eine wichtige mathematische Struktur, die in vielen Bereichen der Informatik und der Elektrotechnik eingesetzt wird. Es ist ein wesentliches Element der digitalen Logik und es wird in der Regel in der Entwicklung von Computersoftware, in der Verknüpfung von Logikschaltungen und in der mathematischen Modellierung von Prozessen verwendet. |
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| 5. ... weitere Lösungsverfahren |
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Boolesche Algebra
ist ein wichtiges Konzept der Informatik, das es ermöglicht, mathematische
Aussagen über Wahrheitswerte wie wahr oder falsch zu machen. Es kann
verwendet werden, um komplexe logische Aufgaben zu lösen, die sonst
schwierig zu verstehen wären. Eine der besten Möglichkeiten, um Boolesche Algebra zu lernen, ist durch die Bearbeitung von Übungen mit Lösungen. Diese Übungen helfen Ihnen, das Verständnis der Grundlagen der Booleschen Algebra zu vertiefen, indem Sie die verschiedenen Logikoperatoren anwenden, um die angegebenen Aufgaben zu lösen. Sie finden viele Übungen mit Lösungen online und in Lehrbüchern zu Booleschen Algebra. Während Sie die Übungen bearbeiten, sollten Sie sich Zeit nehmen, um die logischen Aussagen hinter den Aufgaben zu verstehen. Auf diese Weise können Sie die Lösungen besser nachvollziehen und die Konzepte der Booleschen Algebra besser verstehen. Wenn Sie die Übungen regelmäßig bearbeiten, werden Sie bald in der Lage sein, komplexe logische Aufgaben zu lösen. |
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| 8. Verwandte Themen |
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Programme sind neben der Hardware wohl die wichtigste und so ganz nebenbei auch teuerste Komponente beim Computereinsatz. Gern wird dieser Umstand vernachlässigt und in Größenordnungen wird geklaut. Dabei ist ein Unrechtsbewusstsein in Deutschland kaum ausgeprägt und folgerichtig ist Software in Deutschland um Größenordnung teurer als in umliegenden europäischen Staaten. | |||
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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha | © Frank Rost im Oktober 2025 |
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... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-) „Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“ Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist |
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