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Die einfachen Rechenregeln 0
• 0 = 0, 0
• 1 = 0, 1
• 0 = 0 und 1
• 1 = 1 sind die Basis aller
Betrachtungen. Werden die Ziffern zweier Dualzahlen P und Q einem UND-Glied
als Eingangsvariablen angeschaltet, so stellt die Ausgangsvariable des
UND-Glieds das Ergebnis der Multiplikation nach den oben angegebenen
Rechenregeln zur Verfügung. Das UND-Glied stellt daher einen
1-Bit-Multiplizierer im Dualsystem dar. Die Tabelle unten zeigt die Schritte
einer dualen 4-Bit-Multiplikation des Multiplikanden P mit den Dualstellen P0,
P1, P2, P3 mit dem Multiplikator Q mit den
Dualstellen Q0, Q1, Q2, Q3.
Allgemein gilt, dass die Multiplikation zweier n-stelliger Dualzahlen das
Ergebnis einer Anzahl 2 - n von Ergebnisstellen erzeugt. Werden daher, wie
im Beispiel angegeben, zwei vierstellige Dualzahlen multipliziert, so ergibt
sich ein Ergebnis mit insgesamt acht Ziffernstellen. Die erste Zeile der
Berechnung in Tabelle unten stellt die Multiplikation der Stellen der
Dualzahl P mit der Ziffer Q0 der Dualzahl Q dar, die das
Zwischenergebnis W mit den Stellen W3, W2, W1, W0 liefert. Die zweite Zeile
stellt das Zwischenergebnis X mit den Stellen X3, X2,
X1, X0 dar, welches durch die Multiplikation der Stellen der
Dualzahl P mit der Ziffer Q1 der Dualzahl Q entsteht usw. Die
Zwischenergebnisse W X, Y und Z entsprechen, abgesehen von ihrer
Stellenverschiebung, entweder der Dualzahl P, wenn die Ziffernstelle der
Dualzahl Q die Ziffer 1 ist, oder die Zwischenergebnisse weisen in allen
Stellen die Ziffer 0 auf, wenn die Ziffernstelle der Dualzahl Q die Ziffer 0
ist. Die unterschiedlichen Stellenwerte der Dualziffern Q3, Q2, Q1, Q0
werden durch die Stellenverschiebung der Zwischenergebnisse W, X, Y und Z
berücksichtigt. In einer anschließenden Berechnung müssen nun die vier stellenverschobenen Zwischenergebnisse W, X, Y, Z miteinander addiert
werden, um das Gesamtergebnis der Multiplikation mit den Stellen S0 ... S7
der Multiplikation zu erhalten. Die Multiplikationen der Stellen der
Dualzahl P mit den Ziffernstellen Q3, Q2, Q1, Q0 lassen sich jeweils mit
vier UND-Gliedern realisieren. Die Addition der vier Zwischenergebnisse wird
mit Hilfe von drei 4-Bit-Volladdierern durchgeführt, wie Tabelle unten
zeigt. Der Wert Wo entspricht der Stelle S0 des Ergebnisses. Die
Zwischenergebnisse Wl +X0 = S1, W2 +X1 = S2 und W3 +X2 = S3 werden mit
Hilfe von drei Volladdierern gebildet. Zum Zwischenergebnis X3 wird nur der
Übertrag aus der vorhergehenden Stelle addiert; ein Halbaddierer wäre
ausreichend. Da aber jeweils 4-Bit-Volladdierer verwendet werden, wird
zusätzlich zum Übertrag aus der vorhergehenden Stelle auch noch die Ziffer 0
zum Zwischenergebnis X3 addiert. Man erhält mit diesem 4-Bit-Volladdierer
die Ergebnisstelle St und die Zwischenergebnisse S2', S3', S4' und S5'. Ein
weiterer 4-Bit-Volladdierer addiert die Zwischenergebnisse S2'+Y0, S3'+Yl,
S4'+Y2 und S5'+Y3 und generiert die Ergebnisstelle S2 und die
Zwischenergebnisse S3", S4", S5" und S6'. Der dritte 4-Bit-Volladdierer
addiert schließlich die Zwischenergebnisse S3"+Z0, S4"+Z1, S5"+Z2 und S6'+Z3
und bildet die Ergebnisstellen S3, S4, S5, S6 und S7. Das Bild
oben zeigt
die entsprechende Schaltung des 4-Bit-Multiplizierers mit sechzehn
UND-Gliedern und drei 4-Bit-Volladdierern. Für den Aufbau eines Multiplizierers für n-Bit-Dualzahlen benötigt man eine Anzahl n2 von
UND-Gliedern und eine Anzahl n-1 von n-Bit-Volladdierern. |
