Modelle der Unendlichkeit und ihre Auswirkungen für die Informatik

Letztmalig dran rumgefummelt: 22.01.17 19:24:37

	Was währt ewig und ist unendlich? Eine Grenzwanderung zwischen Mathematik und Philosophie. VON EVA PRASE FREIBERG - Das Jahresende ist ein Ende. Das Wort sagt es. Doch das Jahresende ist auch kein Ende. Denn weiterhin folgt Stunde auf Stunde, Tag auf Tag, Woche auf Woche, Monat auf Monat, Jahr auf Jahr. Es geht immer weiter. Ewig und unendlich? Gibt es Unendlichkeit? „So, wie es Wahrheit gibt“, sagt Elias Wegert. Für ihn existiert keine Ewigkeit und Unendlichkeit in der Wirklichkeit. Doch Wegert ist Mathematiker, Professor an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg. Als solcher sagt er - und es klingt wie das Gegenteil seiner vorherigen Aussage -, dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt. „Mathematik ist ohne das Unendliche nicht denkbar. Wir haben aber nicht die eine Formel, mit der wir es beschreiben oder errechnen könnten. Sondern es gibt beliebig viele Kategorien von Unendlichkeiten.“
	1. Unendlichkeit 2. Berechnungen mit der Unendlichkeit 3. Verwandte Themen
	Modelle Logo für die Unendlichkeit inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-) Basiswissen der Informatik Wissen für Fortgeschrittene der Informatik
	Quellen: Lehr- und Übungsbuch Informatik Band 1 - 5 Seite ??? Technische und Theoretische Informatik  Seite ???
	„Alle großen experimentalphysikalischen Entdeckungen entsprangen der Intuition von Männern, die freimütig Modelle benutzten, welche für sie nicht etwa Produkte ihrer Phantasie, sondern Repräsentanten realer Dinge waren.“ Max Born (1882 - 1970)

1. Unendlichkeit

Es ist müßig zu fragen, seit wann Menschen die Unendlichkeit ergründen wollen. „Natürlich wissen wir nicht, was ein Neandertaler empfunden hat, wenn er nach dem Abnagen einer Mammutkeule satt auf dem Rücken lag und die Milchstraße betrachtet hat, aber über das Unendliche philosophiert hat er kaum“, sagt Wegert. Spätestens aber als der Mensch sich nach seinem Woher und seinem Wohin, nach dem Ursprung allen Seins und dem Sinn des Seins fragte, beschäftigte er sich auch mit dem Unendlichen, dem Ewigen.

... der „Weihnachtsbaum" ist das Phasenporträt einer komplexen Funktion Ausgehend von einer einfachen Struktur an seiner Spitze entstehen im Ergebnis eines wiederholt angewandten Prozesses idealerweise unendlich viele, immer komplexer werdende Details. Obwohl alle Berechnungen endlich sind, wird der Eindruck von Unendlichkeit vermittelt. GRAFIK: ELIAS WEGERT Wegert nennt vorsokratische Denker, speziell verweist er auf Anaximander, der um 610 bis 546 vor Christi Geburt gelebt haben soll und sich mit dem Urstoff, der alles antreibe, befasste. Im Gegensatz zu anderen hielt Anaximander jedoch nicht das Wasser, sondern das stofflich unbestimmte „Äpeiron“ für die treibende Kraft. Es sollte etwas Umfassendes sein, etwas, das alles steuert und seiner Größe nach „unbegrenzt“ beziehungsweise „unermesslich“ ist. Es ist das täglich Brot der Philosophen wie Mathematiker, sich dem Ewigen und Unendlichen und Wahren zu widmen. Die Mathematik habe dabei Methoden entwickelt, die es erlauben, mit dem „unendlich Großen“ und dem „unendlich Kleinen“ sicher umzugehen. Dabei sei das „unendlich Kleine“ auch eine Erfindung der Mathematiker und genauso wichtig wie das „unendlich Große“. Unendlich groß, unendlich klein. Um seine Zuhörer bei seiner Jahresendvorlesung nicht mit zu schwerer Kost davonzujagen, erzählt Wegert erst einmal eine endliche Geschichte von der unendlichen Ewigkeit. „Hinter dem Ende der Welt steht ein Diamantenberg. Der ist 1000 Meilen hoch, 1000 Meilen breit und 1000 Meilen lang. Dahin fliegt alle 1000 Jahre ein Vögelein und wetzt seinen Schnabel. Wenn der ganze Berg aufgebraucht ist, ist eine Sekunde der Ewigkeit vergangen.“ Wegert mag diese Geschichte, obwohl sie keine mathematische Definition für Unendlichkeit liefert. Er schafft aber damit eine Dimension, über die die Mathematik nicht verfügt: märchenhafte Einfachheit. Eine schlichte Darstellung, die Laien eine Vorstellung davon ermöglicht, wie weit mathematisches vom Alltagsdenken entfernt ist. Denn die Geschichte mit dem Vögelein verdeutlicht das Verhältnis von Theorie und Praxis, sie zeigt, dass man mit der Unendlichkeit zwar rechnen kann, dass sie in der Alltagswelt selbst aber nicht vorkommt. Unendlichkeit ist ein Hilfsmittel, mit dem Wissenschaftler wie Wegert versuchen, Erscheinungen der Welt besser zu verstehen und zu erklären. Manche Menschen wissen aus dem Mathematikunterricht noch, dass ein Zeichen für Unendlichkeit eine liegende 8 ist - für Wegert das Symbol einer umgekippten Sanduhr. In der Geometrie stellen sich manche vor, dass zwei Parallelen sich im Unendlichen berühren. Doch für Mathematiker reichen nicht die einfachen, mehr als 2000 Jahre alten Annahmen des Euklid von Alexandria - sie können auch den im Unendlichen gelegenen Schnittpunkt ermitteln. Diese Berechnungen sind nicht nur von theoretischer, sondern auch praktischer Bedeutung etwa für computergrafische Programme. „Jeder Grafikchip benutzt diese Unendlichkeit“, nennt Wegert eine praktische Anwendung. Andere Bereiche sind die Differential- und Integralrechnung. Wegert: „Viele unserer modernen Technologien und Berechnungsverfahren benutzen das Unendliche, ohne dass man es sieht. Wir gehen hier auf einem abstrakten Weg. Wenn wir den nicht hätten, würde unser Alltag nicht funktionieren.“

2. Berechnungen mit der Unendlichkeit

Berechnungen mit der Unendlichkeit können Mathematiker sehr weit treiben. Zum Beispiel können sie theoretisch mit ganz einsichtigen Grundannahmen eine Goldkugel so in wenige Teile zerlegen und anschließend wieder zusammensetzen, dass zwei gleich große Goldkugeln entstehen. „Damit ließe sich mathematisch beweisbar der Traum eines jeden Bankers erfüllen“, sagt Wegert. Praktisch umsetzbar ist die Sache allerdings nicht, unter anderem, weil die entstehenden Teile so filigran wären, dass weder die Zerlegung noch der Zusammenbau der Kugeln realisierbar ist. Wegert: „Hier gilt wieder, dass der Unterschied zwischen Theorie und Praxis in der Praxis größer ist als in der Theorie.“ Und ob man will oder nicht: Die Mathematik gelangt an die Grenzen des gesunden Menschenverstandes. Mathematiker müssen unterscheiden zwischen dem, was sicher und sinnvoll ist, und dem, was zwar widerspruchsfrei berechenbar, aber nur fiktiv umsetzbar ist.

Beispiel Mengenlehre. Man kann Mengen von allem Möglichen bilden. „Eine der wichtigsten Mengen überhaupt ist die leere Menge. Eine Menge also, die kein Element enthält. Sie ist das Nichts. Indem wir eine neue Menge bilden, die dieses Nichts enthält, wird etwas geschaffen. Dieser Prozess lässt sich beliebig fortsetzen. Wir haben also etwas potenziell Unendliches aus dem Nichts erzeugt!“ Er skizziert ein paar Formeln an die Tafel und verdeutlicht, wie Mathematiker denken. „Wenn Sie dieses potenzielle Unendlich in eine Menge packen, haben Sie die bekannten natürlichen Zahlen“, sagt Wegert „Die Mathematik lebt von Zahlen. Aber was sind diese Zahlen? Gesehen hat die natürlichen Zahlen noch keiner.“ Könnten sich Mathematiker auf bestimmte Denkweisen nicht einlassen, funktionierte ihre Wissenschaft

3. Verwandte Themen

	Überall ist es mir bisher eigentlich gelungen, zu den Verwandtschaften einen dummen Satz zu schreiben, welcher in etwa auch den Kern des Problems trifft - geht hier nicht - 's gibt keinen. Der Begriff ist derart zentral und so absolut unklar, dass es einfach keinen Blödsinn gibt, um ihn zu beschreiben. Und nun ist eigentlich wirklich alles irgendwie mit diesem Begriff verwandt.
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© Frank Rost am 8. Januar 2017 um 15.54 Uhr