Exponentialdarstellung von Zahlen in Computern - bzw. Floatingpoints-, Gleit- oder Fließkommazahlen-Formate |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 28.03.25 10:10:30 |
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Du kennst diese Anzeigen von Deinem Taschenrechner wie: 1.1234567899E+003 und kannst diese nicht deuten? Dann bist Du hier richtig, denn wir versuchen, ein wenig Licht in's Dunkel der Zahlenformate zu bringen. Angewandt wird dieses Format für sehr große bzw. sehr kleine Zahlen. Nutznieser sind also vor allem die Physik, die Astronomie, aber auch die Algebra im Allgemeinen. Egal: letztendlich werden überall sehr große und/oder sehr kleine Zahlen benötigt - und die Informatiker spüren dies besonders, denn hier liegen die Ursachen für sehr viele Möglichkeiten, aber auch fehler in Berechnungen mit Computer (Dein Taschenrechner rechnet übrigens genau so, wie ein Computer (er kann ja gar nicht anders!!!)). | ||||||
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1. Floatingpoints- oder Gleit- bzw.
Fließkommazahlen - wie sind diese zu interpretieren? 2. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese darzustellen? 3. Dezimal zu Binär-Floating-Point 4. Binär-Floating-Point zu Dezimal 5. Verwandte Themen |
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Quellen: |
1. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese zu interpretieren? |
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Mit beliebigen reelen Zahlen kann man auf Computern nur näherungsweise rechen mit der Ausnahme ganzer oder rationaler Elemente. Irrationale Zahlen wie beispielsweise die Quadratwurzel aus zwei oder die Kreiskontante Pi bzw. die Euler'sche Zahl lassen sich nur näherungsweise darstellen. | ||||||||||||||||
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Wir suchen eine Darstellung mit einem festen Bit-Format bei einem möglichst großen Intervall der reelen Zahlen eine Genauigkeit, welche bei kleinen Zahlen sehr hoch und bei großen zahlen niedriger ist |
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Die Gleitpunktdarstellung erfüllt diese beiden Forderungen - kleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt, so dass viele Stellen nach dem Dezimalpunkt verbleiben und ein hohe Genauigkeit erricht wird - bei grßen Zahlen kehrt sich dieses Verhältnis um. Somit benötigen wir für die Darstellung einer rellen Zahl nicht nur die Ziffenfolge (Mantisse), sondern auch die Kommaposition - diese ist aber dgenau der Exponent ind der wissenschaftlichen Notation. | ||||||||||||||||
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... bei großen Zahlen verschieben wir das Komme nach rechts - 384 × 106 bedeutet, dass der Dezimalpunkt in der Ziffernfaolge um sech Psitionen nach rechts geschoben wird - also zu 384000,0 | ||||||||||||||||
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... für kleine Zahlen muss das Komma nach links geschoben werden - 3,84 × 108 bedeutet, dass der Dezimalpunkt in der Ziffernfaolge um sech Psitionen nach rechts geschoben wird - also zu 384000,0 | ||||||||||||||||
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... der Exponent wird dabei negativ wie in 1.74 × 10-31
- Gleitkommazahlen bestehen demnach aus: dem Vorzeichen V dem Exponenten E der Mantisse M |
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... das Vorzeichenbit gibt an, ob die aktuelle Zahl positiv oder negativ ist | ||||||||||||||||
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... der Exponent ist eine Binärzahl im Bereich von - 64 bis + 64 welche die Potenz zu einer Basiszahl die Zahl zu multiplizieren ist - typischerweise ist die Basiszahl 2 | ||||||||||||||||
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... die Mantisse besteht aus Binärziffern m1 bis mn und wird als Folge m1 · 2-1 + m2 · 2-2 + mn · 2-3 + ... + m1 · 2-n | ||||||||||||||||
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2. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese darzustellen? |
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3. Dezimal zu Binär-Floating-Point |
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Sechs Schritte sind es insgesamt, bis eine Fliekommazahl in binärer Notation feststeht. So ist zuerst der Vorkommateil zu berechen - dabei reduzieren wir die Zahl um den Nachkommateil und betrachten die bleibenden Elemente als gaznze Zahl. |
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Prinzipiell besteht der Ablauf daraus, die Zahl umzurechnen, zu normalisieren, den neuen Exponenten zu ermitteln, das Vorzeichen zu bilden und anschließend die Werte Vorzeichen, Charakteristik (Exponent) und Mantisse zusammen zu setzen. |
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Darzustellende Zahl: 25,9 |
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Im ersten Schritt wird für die Vorkommazahl 25 die Dualzahl ermittelt. Hierzu wird das bekannte Teiler- bzw. Divisions-Verfahren angewendet. Vorkommateil berechnen: 25 : 2 = 12 Rest 1 ... letztes Bit |
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Im zweiten Schritt wird für die Nachkommazahl 0,9 in Dualdarstellung ermittelt. Dazzu multipizieren wir immer das jeweilige Ergebnis mit 2 und erfassen, ob es einen Übertrag zu eins ergibt. Theretisch geht das endlos - wir werden durch die verfügbare Stellenzahl ausgebremst. Die Multiplikationsmethode ermittelt als Zwischenergebnis eine duale gebrochene Zahl. Nachkommateil berechnen: 0,9 · 2 = 1,8 ganzzahliger Übertrag 1
... erstes Bit Ergebnis aus Schritt 1 und 2: 25,9 = 11001,111001100110011001100... |
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Bei der Normalisierung verschiebt man das Komma
so, das man eine normalisierte Zahl erhält. Zum Beispiel 1,0101 (2) oder
0,123 (10). Dabei greift man auf die Exponentialdarstellung zurück,
damit die Zahl ihren Wert behält. Normieren bzw. Normalisieren (Mantisse ermitteln): 0,9 · 2 = 1,8 ganzzahliger Übertrag 1
... erstes Bit |
4. Binär-Floating-Point zu Dezimal |
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??? | ||
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5. Verwandte Themen |
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Wenn das Thema schon selbst ein Zentrale der Informatik ist (in der Anfangszeit der Informatik wurde ihr Stammpersonal aus den Mathematikern gekürt), dann muss die Liste der Verwandtschaften all umfassend sein. | ||||
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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha | © Frank Rost am 8. August 2011 um 16.01 Uhr |
... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-) „Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“ Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist |
Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-) |