Exponentialdarstellung von Zahlen in Computern - bzw. Floatingpoints-, Gleit- oder Fließkommazahlen-Formate history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 28.03.25 10:10:30

Du kennst diese Anzeigen von Deinem Taschenrechner wie: 1.1234567899E+003 und kannst diese nicht deuten? Dann bist Du hier richtig, denn wir versuchen, ein wenig Licht in's Dunkel der Zahlenformate zu bringen. Angewandt wird dieses Format für sehr große bzw. sehr kleine Zahlen. Nutznieser sind also vor allem die Physik, die Astronomie, aber auch die Algebra im Allgemeinen. Egal: letztendlich werden überall sehr große und/oder sehr kleine Zahlen benötigt - und die Informatiker spüren dies besonders, denn hier liegen die Ursachen für sehr viele Möglichkeiten, aber auch fehler in Berechnungen mit Computer (Dein Taschenrechner rechnet übrigens genau so, wie ein Computer (er kann ja gar nicht anders!!!)).
1. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese zu interpretieren?
2. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese darzustellen?
3. Dezimal zu Binär-Floating-Point
4. Binär-Floating-Point zu Dezimal
5. Verwandte Themen

mathematischen Ansätze der Informatik

Logo für die Exponetialdarstellung von Zahlen

begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Quellen:


1. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese zu interpretieren? history menue scroll up

Mit beliebigen reelen Zahlen kann man auf Computern nur näherungsweise rechen mit der Ausnahme ganzer oder rationaler Elemente. Irrationale Zahlen wie beispielsweise die Quadratwurzel aus zwei oder die Kreiskontante Pi bzw. die Euler'sche Zahl lassen sich nur näherungsweise darstellen.
Wir suchen eine Darstellung mit einem festen Bit-Format
bei einem möglichst großen Intervall der reelen Zahlen
eine Genauigkeit, welche bei kleinen Zahlen sehr hoch und bei großen zahlen niedriger ist
Die Gleitpunktdarstellung erfüllt diese beiden Forderungen - kleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt, so dass viele Stellen nach dem Dezimalpunkt verbleiben und ein hohe Genauigkeit erricht wird - bei grßen Zahlen kehrt sich dieses Verhältnis um. Somit benötigen wir für die Darstellung einer rellen Zahl nicht nur die Ziffenfolge (Mantisse), sondern auch die Kommaposition - diese ist aber dgenau der Exponent ind der wissenschaftlichen Notation.
... bei großen Zahlen verschieben wir das Komme nach rechts - 384 × 106 bedeutet, dass der Dezimalpunkt in der Ziffernfaolge um sech Psitionen nach rechts geschoben wird - also zu 384000,0
... für kleine Zahlen muss das Komma nach links geschoben werden - 3,84 × 108 bedeutet, dass der Dezimalpunkt in der Ziffernfaolge um sech Psitionen nach rechts geschoben wird - also zu 384000,0
... der Exponent wird dabei negativ wie in 1.74 × 10-31  - Gleitkommazahlen bestehen demnach aus:

dem Vorzeichen V
dem Exponenten E
der Mantisse M
... das Vorzeichenbit gibt an, ob die aktuelle Zahl positiv oder negativ ist
... der Exponent ist eine Binärzahl im Bereich von - 64 bis + 64 welche die Potenz zu einer Basiszahl die Zahl zu multiplizieren ist - typischerweise ist die Basiszahl 2
... die Mantisse besteht aus Binärziffern  m1 bis mn und wird als Folge m1 · 2-1 + m2 · 2-2 + mn · 2-3 + ... +  m1 · 2-n 
Vorzeichen - V Exponent - E Mantisse - M interpretierter Zahlenwert
+ -13 010 0101 0110 1011 0111 1111 0,00015777567163622
- +44 101 0101 1000 0000 0000 0000 -29343216566272

 

 

 


2. Floatingpoints- oder Gleit- bzw. Fließkommazahlen - wie sind diese darzustellen? history menue scroll up

Daten, nichts als Daten in unserer Welt - und es ist nun einmal Tatsache: wenn ich die Welt exakt beschreiben will, benötige ich eine dazu hinreichende Menge an selbigen. Steht sie nicht exakt und/oder in genügender Menge zur Verfügung, so wird unsere Beschreibung der Welt ungenauer. Daten sind interpretierbare Informationen insbesondere in Form von Zahlen.
   

IEEE 754

 

IEEE-754 Gleitkommazahlen Konverter

Darstellung von Gleitkommazahlen - Floating Points ;-)

Schrittfolge zur Darstellung

   


3. Dezimal zu Binär-Floating-Point history menue scroll up
Sechs Schritte sind es insgesamt, bis eine Fliekommazahl in binärer Notation feststeht. So ist zuerst der Vorkommateil zu berechen - dabei reduzieren wir die Zahl um den Nachkommateil und betrachten die bleibenden Elemente als gaznze Zahl.
Prinzipiell besteht der Ablauf daraus, die Zahl umzurechnen, zu normalisieren, den neuen Exponenten zu ermitteln, das Vorzeichen zu bilden und anschließend die Werte Vorzeichen, Charakteristik (Exponent) und Mantisse zusammen zu setzen.
Darzustellende Zahl: 25,9

Im ersten Schritt wird für die Vorkommazahl 25 die Dualzahl ermittelt. Hierzu wird das bekannte Teiler- bzw. Divisions-Verfahren angewendet.

Vorkommateil berechnen:

25 : 2 = 12 Rest 1 ... letztes Bit
12 : 2 =  6 Rest 0
 6 : 2 =  3 Rest 0
 3 : 2 =  1 Rest 1
 1 : 2 =  0 Rest 1 ... erstes Bit

Im zweiten Schritt wird für die Nachkommazahl 0,9 in Dualdarstellung ermittelt. Dazzu multipizieren wir immer das jeweilige Ergebnis mit 2 und erfassen, ob es einen Übertrag zu eins ergibt. Theretisch geht das endlos - wir werden durch die verfügbare Stellenzahl ausgebremst. Die Multiplikationsmethode ermittelt als Zwischenergebnis eine duale gebrochene Zahl.

Nachkommateil berechnen:

0,9 · 2 = 1,8 ganzzahliger Übertrag 1 ... erstes Bit
0,8 · 2 = 1,6 ganzzahliger Übertrag 1
0,6 · 2 = 1,2 ganzzahliger Übertrag 1
0,2 · 2 = 0,4 ganzzahliger Übertrag 0
0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0
0,8 · 2 = 1,6 ganzzahliger Übertrag 1
0,6 · 2 = 1,2 ganzzahliger Übertrag 1
0,2 · 2 = 0,4 ganzzahliger Übertrag 0
0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0
0,8 · 2 = 1,6 ganzzahliger Übertrag 1
0,6 · 2 = 1,2 ganzzahliger Übertrag 1
0,2 · 2 = 0,4 ganzzahliger Übertrag 0
0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0
0,8 · 2 = 1,6 ganzzahliger Übertrag 1
0,6 · 2 = 1,2 ganzzahliger Übertrag 1
0,2 · 2 = 0,4 ganzzahliger Übertrag 0
0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0
0,8 · 2 = 1,6 ganzzahliger Übertrag 1
0,6 · 2 = 1,2 ganzzahliger Übertrag 1
0,2 · 2 = 0,4 ganzzahliger Übertrag 0
0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0 ... letztes Bit

Ergebnis aus Schritt 1 und 2: 25,9 = 11001,111001100110011001100...

Bei der Normalisierung verschiebt man das Komma so, das man eine normalisierte Zahl erhält. Zum Beispiel 1,0101 (2) oder 0,123 (10). Dabei greift man auf die Exponentialdarstellung zurück, damit die Zahl ihren Wert behält.

10010,01100110011... * 20
1,001001100110011... * 24 (Normalisierung)

Bei der Normalisierung geht es darum, dass man nur die Nachkommastellen speichern möchte. Bei der binären Darstellung von Zahlen steht vorne immer eine Eins (1). Diese Vorkomma-Eins kann man beim Speichern bzw. bei der Darstellung weglassen (hidden bit), weil hier immer eine Eins steht. Dafür hat man hinten eine Stelle mehr für die Genauigkeit.

Normieren bzw. Normalisieren (Mantisse ermitteln):

0,9 · 2 = 1,8 ganzzahliger Übertrag 1 ... erstes Bit

0,4 · 2 = 0,8 ganzzahliger Übertrag 0 ... letztes Bit

   


4. Binär-Floating-Point zu Dezimal history menue scroll up
???
   
 

5. Verwandte Themen history menue scroll up
Wenn das Thema schon selbst ein Zentrale der Informatik ist (in der Anfangszeit der Informatik wurde ihr Stammpersonal aus den Mathematikern gekürt), dann muss die Liste der Verwandtschaften all umfassend sein.

Zahlensysteme

HEX-Zahlen

The Mother of Tetraed Codes - der HEX-Code

HORNER-Schema



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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost am 8. August 2011 um 16.01 Uhr

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)