| 3.3. Kreis und Geraden-Konstruktionen |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 24.02.16 21:29:59 |
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Manipulationen von Strecken sind die einfachsten und ältesten geometrischen Grundverfahren der geometrischen Konstruktion - wenden aber schon als Basiskonstrukt den Kreis bzw. Kreisbögen an. Technisch/mathematisch sind CAD-Systeme nichts weiter, als die konsequente Fortführung alter geometrischer Verfahren mit modernen Mitteln. | ||||||
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1. Kreis kopieren 2. Kreismittelpunkt suchen 3. Kreis in zwölf gleiche Abschnitte teilen 4. Innenkreis eines Dreiecks 5. Umkreis eines Dreiecks 6. Tangente an einem Kreispunkt errichten 7. Tangente von einem Punkt außerhalb des Kreises errichten |
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| 1. Kreis kopieren |
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Wieder sind Gerade, Strecken sowie deren Teiler, aber auch Winkel und Kreisbogen Grundgaranten dieser geometrischen Verfahren und seit Archimedes bekannt. In CAD-Programmen läuft dies auf die Anwendung numerischer Verfahren für die exakte Konstruktion hinaus. | |||
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auf der Kopiergeraden wird der Punkt M1 abgetragen | |||
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um M1 den Kreisbogen mit Radius r schlagen | |||
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| 2. Kreismittelpunkt suchen |
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Konsequent werden hierbei eigentlich die Verfahren der Treckenteilung auf den Kreis übertragen und fortgeführt. Fortgeführt in dem Sinne, das zwei Stecken - in diesem Falle die Sekanten als Strecken begrenzt durch die Peripherie des Kreises geteilt werden müssen. | |||
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ziehe zwei sich nicht genau gegenüberliegende Sekanten (Sehnen) durch die Kreisperipherie (Abstand zum Mittelpunkt theoretisch beliebig, Nähe zum geschätzten Mittelpunkt günstig) | |||
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wir tragen auf den errichteten Sekanten die Mittelsenkrechte ab und verlängern beide so lange, bis sie einander schneiden | |||
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der Schnittpunkt ergibt den gesuchten Kreismittelpunkt AB | |||
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| 3. Kreis in zwölf gleiche Abschnitte teilen |
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Wesen diese geometrischen Verfahrens ist das Abtragen des Radius aus den Quadrantenpunkten des gegebenen Kreises in beiden Richtungen - kürzer lässt sich dieses geometrische Verfahren nicht fassen. | |||
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man schlage um die Quadrantenpunkte (das sind die Schnittpunkte der der Verlängerungen des Mittel-Schnittpunktes) in beiden Richtungen Kreisbögen mit dem Radius des Kreises | |||
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die Schnittpunkte sind die gesuchten Kreisteiler und ergeben 12 gleiche Kreis-Peripherie-Segmente | |||
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| 4. Innenkreis eines Dreiecks |
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Hier ist das Wesentliche das Teilen mindestens zweier Seiten des gegeben Dreiecks. Deren Verlängerung in die Mitte eben dieses ergibt den Mittelpunkt des Innenkreises, dessen Radius wir nun nunmehr über einen einen der Mittelpunkte herausfinden ;-) | |||
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ermittle die Winkelhalbierenden zweier Dreieckspunkte und bringe sie zum Inneren des Dreiecks zum Schnitt | |||
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verwende den entstandenen Einstichpunkt als Mittelpunkt des künftigen Kreises | |||
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der neu bestimmte Mittelpunkt wird als Lotpunkt auf eine der Dreieckseiten verwendet - die Strecke Mittelpint zu Lotpunkt bildet den Radius des Innenkreises | |||
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schlage um den neuen Mittelpunkt mit Radius bis zu einem der Tangentenpunkte einen Kreisbogen - er stellt den gesuchten Innenkreis dar ;-) | |||
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| 5. Umkreis eines Dreiecks |
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Das Lot wird ebenfalls mit Kreisbögen gleichen Radius' konstruiert und mit C wird der Ausgangspunkt des zu fällenden Lotes festgelegt. Die Radien müssen gleich und mindestens so groß sein, dass sie von Punkt C aus die Strecke zwei mal schneiden können. | |||
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errichte die Mittelsenkrechte auf mindestens zwei Seiten des vorgegebenen Dreiecks | |||
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verlängere zur Mitte hin solange, bis sich ein Schnittpunkt ergibt | |||
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schlage den Kreisbogen um den neu gewonnen Mittelpunkt durch einen der drei Punkte | |||
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die restlichen zwei Punkte müssen zwangsläufig auf der Peripherie liegen ;-) | |||
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| 6. Tangente am Kreis |
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Das Lot wird ebenfalls mit Kreisbögen gleichen Radius' konstruiert und mit C wird der Ausgangspunkt des zu fällenden Lotes festgelegt. Die Radien müssen gleich und mindestens so groß sein, dass sie von Punkt C aus die Strecke zwei mal schneiden können. | |||
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aus dem als bekannt vorausgesetzten Kreismittelpunkt wird eine Gerade durch den gegebenen Punkt P gezogen | |||
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von Punkt P aus mit beliebigen, aber gleichem Radius auf der Geraden die Punkte A und B abtragen | |||
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durch Konstruktion der Mittelsenkrenten gewinnen wir das Lot auf die Gerade durch den Punkt P | |||
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die Verlängerung des Lotes in beiden Richtungen ergibt die gesuchte Tangente am Kreis durch Punkt P | |||
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| 7. Tangente von einem Punkt P außerhalb des Kreises |
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Das Lot wird ebenfalls mit Kreisbögen gleichen Radius' konstruiert und mit C wird der Ausgangspunkt des zu fällenden Lotes festgelegt. Die Radien müssen gleich und mindestens so groß sein, dass sie von Punkt C aus die Strecke zwei mal schneiden können. | |||
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Tangente auf gegebenem Kreis von gegebenem externen Punkt aus abgetragen |
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wir verbinden den bekannten Mittelpunkt mit dem gegebenen Punkt P außerhalb des Umkreises - ist der Mittelpunkt nicht bekannt, fangen wir hier an ;-) | |||
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durch Streckenteilung entsteht der Punkt M1 - Mittelpunkt für den THALES-Kreis | |||
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durch Konstruktion des THALES-Kreises beginnend beim Punkt P entsteht der Schnittpunkt A mit der gegebenen Kreisperipherie - der gesuchte Tangentenpunkt | |||
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verbinde Punkt P mit dem gefundenen Tangentenpunkt A und verlängere gegebenenfalls über A hinaus | |||
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