| 3.1. Strecken und Geraden-Konstruktionen |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 25.02.16 07:39:46 |
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Manipulationen von Strecken sind die einfachsten und ältesten geometrischen Grundverfahren der geometrischen Konstruktion - wenden aber schon als Basiskonstrukt den Kreis bzw. Kreisbögen an. Technisch/mathematisch sind CAD-Systeme nichts weiter, als die konsequente Fortführung alter geometrischer Verfahren mit modernen Mitteln. | ||||||
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1. Halbieren einer Strecke und
Errichten der der Mittelsenkrechten 2. Parallele durch einen bestimmten Punkt C zu einer Strecke AB 3. Teilen einer Strecke AB in n gleiche Teile 4. Errichten des Lotes auf einer Geraden 5. Goldener Schnitt |
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| 1. Halbieren einer Strecke und Errichten der der Mittelsenkrechten |
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Bei der Streckenteilung ist nur entscheidend, dass die beiden Radien mindestens größer als die Hälfte der Ausgangsstrecke und gleich groß sind. Theoretisch unterliegen sie ansonsten keinerlei Einschränkungen. | |||
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schlägt man um die Punkte A und B einen Kreisbogen mit dem Radius r, so erhält man die Schnittpunkte C und D | |||
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verbindet man die Punkte C und D, so wird die Strecke AB geteilt und gleichzeitig die Mittelsenkrechte auf ihr errichtet | |||
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| 2. Parallele durch einen bestimmten Punkt C zu einer Strecke AB |
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Eine Parallele ohne zwei Zeichendreiecke aber mit Zirkel zu konstruieren gehört schon zu den nicht mehr ohne weiteres bekannten Verfahren. Auch hier ist wieder das Grundprinzip gleiche Radien von verschiedenen Bezugspunkten aus. Schnittpunkt der Kreisbögen und Verbindung der Bezugspunkte ergibt die Parallele. Der Abstand sowie die Lage der Parallelen wird durch den Punkt C bestimmt! | |||
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schlägt man um den Punkt A einen Kreisbogen durch den Punkt C, so erhält man einen Punkt D auf der Strecke AB | |||
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schlägt man einen Kreisbogen mit gleichem Radius um D und C, so ergibt sich der Schnittpunkt P | |||
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die Verbindung von C und P ist die gesuchte Parallel zur Strecke AB | |||
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| 3. Teilen einer Strecke AB in n gleiche Teile |
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Hier ist schon Schluss mit dem allgemeinen Grundwissen eines Abiturienten in Deutschland - das kann er standardmäßig nämlich schon mal nicht mehr geometrisch nachvollziehen! Wird also Zeit, dass er dies hier und an dieser stelle mit CAD-Systemen nachholt. | |||
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man ziehe durch den Punkt A der Strecke AB eine Hilfsgerade unter beliebigem Winkel größer 0° bezogen auf Strecke AB | |||
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nun trage auf der Hilfsgeraden beginnend in Punkt A den beliebigen Radius r n-mal ab (wobei n der Faktor der Streckenteilung ist) | |||
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aus dem letzten Schnittpunkt mit der Hilfsgeraden ergibt sich Punkt C, welcher mit Punkt B zu verbinden ist | |||
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die Streckenteiler ergeben sich jeweils aus Parallelen der Strecke CB in die einzelnen Radienschnittpunkte auf der Hilfsgeraden | |||
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| 4. Errichten des Lotes auf einer Geraden |
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Das Lot wird ebenfalls mit Kreisbögen gleichen Radius' konstruiert und mit C wird der Ausgangspunkt des zu fällenden Lotes festgelegt. Die Radien müssen gleich und mindestens so groß sein, dass sie von Punkt C aus die Strecke zwei mal schneiden können. | |||
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der Goldene Schnitt an der Uni Bayreuth | |||
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um den Punkt C wird ein Kreisbogen mit beliebigem Radius unter der Bedingung geschlagen, dass die Gerade g zwei mal geschnitten wird | |||
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dadurch entstehen die Schnittpunkte D sowie E | |||
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um die Punkte D und E wird wiederum ein Kreisbogen mit Radius r aus dem ersten Schritt geschlagen - es entsteht Schnittpunkt F | |||
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die Verbindung von C mit F ergibt das gewünschte Lot | |||
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| 5. Goldener Schnitt |
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Laut Taschenbuch der Mathematik versteht man unter dem Goldenen Schnitt einer Größe a die Zerlegung dieser Größe in zwei Teile b und a - b derart, daß b das geometrische Mittel von a und a-b ist: | |||
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Prosaisch ist die Beschreibung von Johannes Kepler:
mathematische Projektion des Goldenen Schnitts als Verhältnis der Seiten a und b |
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teile die Strecke AB - ergo Seite a des späteren Rechtecks - wir gewinnen Punkt C | |||
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C als Einstichpunkt verwendend tragen wir den Radius a/2 gegen die Seite b ab | |||
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wir gewinnen aus Punkt auf Seite b den Teilungsfaktor für de Goldenen Schnitt | |||
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diesen könne wir auch noch als Abtragungsradius auf Seite c des Rechtecks verwenden - dann wird das Rechteck im Goldenen Schnitt abgebildet | |||
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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha | © Frank Rost im August 2003 |
