5.1. Der Induktionsbeweis
Die Induktion ist eine Rechenoperation mit natürlichen Zahlen.
Sie Beweist mit Hilfe der Peanoschen Axiomen
verschiedene Rechengesetze.
Die vollständige Induktion:
Für das assoziative Gesetz der Addition erhält man z. B. wegen 0´= 1, 1´= 2, ...,
m´= m+1 auf Grund der Definition der Addition für die Behauptung (a + b) + c =
= a + (b + c) folgenden Beweis: Die Behauptung ist nach der Definition der Addition
für c = 1 richtig (Induktionsanfang), denn (a + b ) + 1 = (a + b) + 0´= [(a + b) + 0]´ =
= (a + b)´= a + b´= a + (b + 1). Angenommen (Induktionsvoraussetzung), die
Behauptung sei für c = n richtig: (a + b) + n = a+ (b + n), dann ist (a + b) + n´=
= [(a + b) + n]´ = [a + (b + n)]´= a + (b + n´). Die Behauptung gilt demnach
(Induktionsschluss) für alle natürlichen Zahlen c.
Für mehr als zwei Glieder werden die Operationen erklärt durch a + b + c = (a + b) + c
bzw. a * b * c = (a * b) * c. In einer Summe bzw. in einem Produkt können dann, wie
wieder mittels vollständiger Induktion zu beweisen ist, beliebig Klammern gesetzt
oder fortgelassen werden.
Fünf Farben reichen immer
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