Technische Signalformen

Letztmalig dran rumgefummelt: 07.09.12 18:45:39

	Signale sind veränderliche physikalische Größen, die Informationen enthalten können.
	1. Definitionsversuch 2. Technische Signalgebung 3. Informationstheorie nach Shannon
	Information war schon immer auch von politischer und/oder finanzieller Bedeutung, denn zu wissen, wo was am billigsten verkauft wird, spart ja echt Geld, andererseits hat zum Beispiel das Entschlüsseln der Funksprüche der Wehrmacht im II. Weltkrieg entscheidende Bedeutung gehabt.
	Praktische technische Signalformen

1. Definitionsversuche

	Bei unseren Versuchen mit dem Operationsverstärker haben wir auch einen Generator gebaut, der dreick- und rechteckförmige Signale erzeugen kann. Im Gegensatz dazu liefert in Dynamo (z.B. ein Fahrraddynamo) eine sinusförmige Ausgangsspannung. Sinus" kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Busen, Meerbusen". Na, und was hat das mit Funk, Elektrotechnik und dem Fahrraddynamo zu in? Genau das erkläre ich euch in diesem Artikel. Zuerst einmal, wie sieht wenn ein Sinus aus? Die Kurvenform zeigt Bild unten.
	Sinuskurve Diese Kurve ist abgerundet, enthält weder scharfe Kanten noch Ecken und steht damit im Gegensatz zu den uns bisher bekannten Formen (Dreieck und Rechteck). Einige Gemeinsamkeiten bestehen aber trotzdem, z.B. wiederholt sich der Kurvenzug periodisch! Genau wie bei unseren elektrisch erzeugen Signalen, können wir einen beliebigen Startpunkt festlegen und dann z.B. ach rechts auf der Kurve wandern, bis wir wieder zu einem Punkt gelangen, der auf der gleichen Höhe wie der Startpunkt liegt und in gleicher Richtung durchfahren wird. Zur Bestimmung eines geeigneten Startpunktes müsst ihr zwei Hilfslinien einzeichnen. Eine Gerade verbindet die Maxima, also die höchsten Punkte der Kurve. Die zweite Gerade die ~.Ain.ima, also die niedrigsten Punkte der Kurve. Als dritte Gerade zeichnet ihr eine Linie parallel zu den beiden Hilfslinien, und zwar genau in der Mitte zwischen diesen beiden. Diese dritte Gerade stellt die Nulllinie dar. Ihr kennt sie schon von dem elektrischen Ebenbild. Bei den elektrischen Signalen bestimmte der Abstand zwischen in gleicher Richtung durchfahrenden Punkten der Nulllinie die Frequenz, also die Häufigkeit dieses Ablaufes je Zeiteinheit. Und hier verhält es sich genauso! Beim Zeichnen der Kurve bewegt ihr den Stift, und dabei vergeht Zeit. Angenommen ihr braucht zur Aufzeichnung eines Kurvenzuges vier Sekunden, die Frequenz unseres so erzeugten Signals beträgt also f = 114 s = 0,25 Hz Unser Kurvenzug offenbart aber noch eine andere Tatsache: eine Strecke! Nämlich genau die, die der Stift durch das Schreiben in horizontaler Richtung zurückgelegt hat. Nicht zu Verwechseln mit dem Weg der Kurve, dieser ist deutlich länger. Beim Nachmessen auf unserem Papier ergibt sich ein Abstand von z.B. 10 cm. Da die Kurve wie eine Welle aussieht, heißt auch die Länge so: Wellenlänge. Die Wellenlänge beträgt also 10 cm und wird in vier Sekunden erzeugt. Wenn ihr den Stift weiterbewegt, zeichnet ihr zwei Kurvenzüge auf 20 cm Strecke bzw. 20 nach 2 m. Die Welle breitet sich also in eurem Zimmer aus, auch wenn das Papier schon lange ausgegangen ist. Doch mit welcher Geschwindigkeit breitet sich das Signal aus? Der Stift legt 10 cm in 4 s zurück, demnach beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = 10 cm/4 s = 2,5 cm/s So, jetzt kennen wir rund um unseren Kurvenzug folgende Parameter: T (Periodendauer) = die Zeit, die vergeht, um auf der Kurve wieder den gleichen Punkt aus der gleichen Richtung zu erreichen f (Frequenz) = Anzahl der Perioden pro Sekunde c (Ausbreitungsgeschwindigkeit) _ Geschwindigkeit, mit der sich die Welle im Raum ausbreitet Bild 2: Sinuskurve mit Parametern (Wellenlänge) = Strecke, die bei der Ausbreitung einer Periode zurückgelegt wird (das Symbol ist der griechische Buchstabe Lambda, dieser entspricht unserem 1) US (Spitzenamplitude) = Maximalwert, höchster bzw. niedrigster Punkt der Kurve In Bild 2 habe ich die Kurve aus Bild 1 mit den kennzeichnenden Parametern ergänzt. Vier Parameter sind durch zwei Formeln miteinander verknüpft. So ist f = I /T bzw. T = 1/f und X=c/fbzw. c=X-fbzwf=c/k Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit habe ich hier das „c" als Symbol verwendet. Normalerweise kennzeichnet ein „v" für „Velocity" die Geschwindigkeit. Bei unserem Stift ist das „v" auch angebracht, aber bei elektrischen Signalen kommt eine „spezielle" Geschwindigkeit zum Tragen: die Lichtgeschwindigkeit. Sie wird in der Physik durch ein „c" symbolisiert und beträgt etwa 300 000 000 m/s = 3 .108 m/s im freien Raum, also in unserer Erdatmosphäre bzw. im Weltall. Somit gibt es eine eindeutige Beziehung zwischen Wellenlänge und Frequenz. Beim Amateurfunk spricht man bei Kurzwelle z.B. vom 80-m- oder 20-m-Band - beim UKW-Rundfunk ist ein Sender z.B. auf 98,4 MHz zu hören. Entlang unserer Autobahnen finden sich Hinweistafeln auf Verkehrsfunksender, und zwar mit der Frequenzangabe. Diese muss am Autoradio eingestellt sein, um den Sender zu hören. Rund um meinen Wohnort kann ich auf UKW folgende Sender empfangen (Bild 3). Jetzt wird es höchste Zeit, diese vielen verschiedenen Begriffe und Angaben systematisch anzuordnen und deren Beziehungen untereinander aufzuzeigen. Wir haben da den Kurvenzug, den wir mit dem Stift gemalt haben (Bild 1 bzw. Bild 2). Dieser liefert uns eine Information über die Zeitdauer einer Periode. Die Veranschaulichung erfolgt daher im Zeitbereich, weil die Größe des Signals auf der Y-Achse in Abhängigkeit von der Zeit (X-Achse) aufgetragen wird. Bild 3 stellt hingegen die hörbaren Sender an meinem Wohnort über der Frequenz dar. Folglich bezeichnet man dies als Darstellung im Frequenzbereich. Bei einem Kurzwellenrundfunkempfänger finden sich Abkürzungen wie „LW", „MW" und „KW", evtl. auch „UKW". Diese stehen für Langwelle, Mittelwelle und Kurzwelle bzw. Ultra-Kurzwelle und bezeichnen einen Frequenzbereich. Darin liegen viele einzelne Sender bzw. Frequenzen, wie Bild 3 zeigt. Jede der drei Betrachtungsweisen hat Vor- und Nachteile. So untergliedert die „Wellenlänge" grob die Frequenzbereiche, während der Frequenzbereich einen detaillierteren Einblick in die in diesem Wellenlängenbereich liegenden Sender zulässt. Der Zeitbereich beschreibt die exakte Kurvenform des Signals. So, und jetzt drehen wir den Spieß um! Im Zeitbereich haben wir unterschiedliche Signalformen, nämlich Rechteck-, Dreieck- und zuletzt Sinussignale kennen gelernt. Außer der Kurvenform verfügen alle drei über eine Frequenz, eine Periodendauer und natürlich eine Wellenlänge. Der Einfluss der Kurvenform kommt erst bei Betrachtung im Frequenzbereich heraus. Ein sinusförmiges Signal ergibt im Frequenzbereich genau eine Linie. Rechteck- bzw. Dreiecksignal hingegen beinhalten Frequenzanteile von der Grundfrequenz sowie von ganzzahligen Vielfachen davon. Mit Grundfrequenz ist diejenige gemeint, die sich durch Kehrwertbildung aus der Periodendauer errechnet (f = 1 /T). Bild 4: Bild 5: Rechteck als Summensignal von Grundwelle und 3., 5., 7. und 9. Oberwelle Bild 6: Dreieck als Summensignal von Grundwelle und allen Oberwellen bis inklusive 10. Oberwelle

2. Technische Signalgebung

	In Bild 4 habe ich die Kurvenformen im Zeitbereich den zugehörigen Darstellungen im Frequenzbereich gegenübergestellt. Für das Sinussignal gibt es im Frequenzbereich nur eine Linie bei der Grundfrequenz (Bild 4 unten links). Dreieck und Rechteck dagegen beinhalten weitere Frequenzanteile, die im Zeitbereich nicht erkennbar sind. Wenn diese weiteren Frequenzanteile im Signal enthalten sind, muss sich das auch in der theoretischen Beschreibung des Signals wiederlinden. Wir wissen, dass ein Wechselspannungssignal eine Amplitude, eine Frequenz und eine Kurvenform hat. Das Sinussignal kann man mathematisch so ausdrücken: Usinus = Uls - sin (w - t) mit w = 2 - ir - f ergibt sich Usinus = Uli - sin (2 - ir - f - t) Usinus beschreibt das Signal im Zeitbereich (siehe Bild 4 links oben). Dabei bedeutet Uls = Spitzenamplitude Konstante = 3,1415926 f = Frequenz t = Zeitpunkt auf der X-Achse, der den zugehörigen Y -Wert für U„„S bestimmt Bei einem reinen Sinussignal gibt es nur diese eine Frequenz (f) im Frequenzbereich und folglich enthält die mathematische Beschreibung auch nur eine Frequenz. Wie sieht das nun bei einem Rechtecksignal aus? Da haben wir die Grundfrequenz und die dreifache, fünffache, siebenfache usw. der Grundfrequenz (Bild 4 Mitte). Die Vielfachen der Grundfrequenz heißen auch Oberwellen. Ein Rechtecksignal besteht aus der Summe von Grundwelle und ungeradzahliger Oberwellen. Mathematisch sieht das so aus: Urechteck = Uls sin (2 - 7r - f - t) + 1/3 UI, -sin(2-Tr 3-f-t)+1/5-UI,-sin (2-Tr-5-f-t)+... Der erste Summand beschreibt die Grundwelle mit der Frequenz f und der Spitzenamplitude Ui,. Der zweite Summand gilt für die Oberwelle mit der dreifachen Frequenz (daher 3 - f), aber nur einem Drittel der Amplitude der Grundfrequenz (daher 1/3 - Uts). Der folgende Summand enthält die Beschreibung für die fünffache Grundfrequenz, deren Amplitude beträgt nur 1/5 von Uis. Und wie sieht der Summand für die Oberwelle mit der siebenfachen Grundfrequenz aus? Die Lösung findet ihr am Ende des Artikels. Für die Nummerierung der Oberwellen definiere ich die 1. Oberwelle zur Grundfrequenz, damit lässt sich die Frequenz der jeweiligen Oberwelle leicht errechnen und die „Nummer" passt auch zur Festlegung „gerade" bzw. „ungerade" Vielfache der Grundfrequenz. Die genannte Formel gilt nur für ein Rechtecksignal, bei dem der Amplitudenwechsel vom Maximum zum Minimum in der Mitte der Periode erfolgt. Für die Kurve in Bild 5 habe ich die Summe von Grundfrequenz und den ersten vier ungeradzahligen Oberwellen (3. bis 9.) nach obiger Formel ausgerechnet. Das Rechteck ist gut erkennbar, ebenso die durch die Ober wellen verursachten Amplitudenschwankungen. Das gleiche Prinzip gilt auch beim Dreiecksignal. Die Oberwellen seht ihr in Bild 4 rechts. Für die mathematische Beschreibung des Dreiecksignals ergibt sich Udreieck = Uts ' sin (2 - Tr - f - t) + 1/2 UI, -sin(2-Tr-2-f-t)+l/3-Uis-sin (2-Tr-3-f-t)+ ... Die einzelnen Summanden ähneln denen des Rechtecksignals, aber hier sind sowohl gerad- als auch ungeradzahlige Oberwellen enthalten. Ihre Amplitude reduziert sich auf vergleichbare Weise wie beim Rechtecksignal. Bild 6 stellt die aus der Grundwelle und allen Oberwellen bis einschließlich der 10. errechnete Kurvenform dar. Jetzt bleibt nur noch ein Geheimnis ungeklärt, nämlich was hat es mit der Wellenlänge (siehe Bild 2) auf sich? Diese benötigen wir für den Antennenbau. Aber das erkläre ich im Novemberheft. Helmut Berka, DL2MAJ Lösung des Frequenzanteils der 7. Oberwelle: (1.I.Z.'~.Z)uls-sin-Z/I Viele für diese Artikel-Serie benötigten Materialien hat der Autor als Funky Bastlerbeutel zusammen gestellt. Diesen kann man gegen Einsendung von 10 € bei Helmut Berka, DL2MAJ, Dornbuschweg 11, 86836 Obermeitingen (d12maj@darc.de) erhalten.
	Signal im Zeitbereich (oben) und Frequenzbereich (unten)

3. Shannons Informationstheorie

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© Frank Rost im November 2006